Théorie des groupes/Sous-groupe de Frattini

Rappels sur les bases d'un espace vectoriel

On ne s'intéressera ici qu'aux espaces vectoriels sur un corps commutatif. (En évitant les corps non commutatifs, on se dispense de distinguer entre espaces vectoriels à gauche et à droite.) Par « base » d'un espace vectoriel, on entend, selon le cas, deux choses légèrement différentes.

Dans le premier sens du mot, une base d'un espace vectoriel V est une famille ${(v_i)}_{i\in I}$ d'éléments de V telle que

1° pour chaque partie finie J de I et chaque famille ${(a_j)}_{j\in J}$ de scalaires, la relation $\sum _{j\in J}{a}_j{v}_j=0$ entraîne $a_j=0$ pour tout $j\in J$;

2° pour chaque élément $v$ de V, il existe une partie finie J de I et une famille ${(a_j)}_{j\in J}$ telles que $v=\sum _{j\in J}{a}_j{v}_j.$

(La condition 1° exprime que la famille $(v_i{)}_{i\in I}$ est libre; la condition 2° exprime que cette famille engendre V.)

Dans le second sens du mot « base », une base d'un espace vectoriel V est une partie B de V telle que

1° si $(b_i{)}_{i\in I}$ est une famille d'index fini d'éléments de B telle que, pour tous $i,j$ distincts dans I, $b_i$ et $b_j$ soient distincts, alors la famille $(b_i{)}_{i\in I}$ est libre, c'est-à-dire que si $(a_i{)}_{i\in I}$ est une famille de scalaires telle que $\sum _{i\in I}{a}_i{b}_i=0$, alors $a_i=0$ pour tout $i\in I$;

2° pour chaque élément $v$ de V, il existe une famille d'index fini $(b_i{)}_{i\in I}$ d'éléments de B telle que $v=\sum _{i\in I}{a}_i{b}_i.$

Une partie B de V est une base de V au second sens si et seulement la famille $(b{)}_{b\in B}$ (assimilable à l'application identique de B dans lui-même) est une base de V au premier sens. Une famille $(v_i{)}_{i\in I}$ d'éléments de V est une base de V au premier sens si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

a) pour tous $i,j$ distincts dans $I$, $v_i=v_j;$

b) l'ensemble des valeurs de la famille $(v_i{)}_{i\in I}$, autrement dit l'ensemble $\{v_i|i\in I\}$, est une base de V au second sens.

Nous dirons parfois qu'une base de V dans le premier sens est une famille basique de V et qu'une base de V dans le second sens est une partie basique de V.

Si $(v_i{)}_{i\in I}$ est une famille basique de V et B une partie basique de V, $I$ et B ont le même cardinal (qui est aussi le cardinal de l'ensemble des valeurs de la famille $(v_i{)}_{i\in I}$). Deux parties basiques d'un même espace vectoriel ont toujours le même cardinal. Deux familles basiques d'un même espace vectoriel ont toujours des index (ensembles d'indices) de même cardinal.

Si V est un espace vectoriel, le cardinal de toute partie basique de V (qui est aussi le cardinal de l'index de toute famille basique de V et qui est aussi le cardinal de l'ensemble des valeurs de toute famille basique de V) est appelé la dimension de V. Tout espace vectoriel a au moins une base (dans les deux sens du mot).

Sous-groupe de Frattini

Modèle:Définition Si G a au moins un sous-groupe maximal, on peut parler de l'intersection des sous-groupes maximaux de G et Frat(G) est alors cette intersection. Si G n'a pas de sous-groupe maximal, Frat(G) est G tout entier. Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Remarques.

1. Un groupe fini non trivial a toujours au moins un sous-groupe maximal, par exemple un sous-groupe du plus grand ordre possible parmi les sous-groupes propres de G. (On peut dire aussi que tout ensemble ordonné fini non vide a au moins un élément maximal.) Donc le sous-groupe de Frattini d'un groupe fini G non trivial est toujours un sous-groupe propre de G.
2. D'après les [[../Exercices/Groupes monogènes, ordre d'un élément/|exercices sur le chapitre Sous-groupes monogènes, ordre d'un élément]] il existe des groupes infinis (par exemple le groupe additif $\mathbb{Q}$) qui n'ont pas de sous-groupe maximal et qui sont donc leur propre sous-groupe de Frattini.

Modèle:Théorème Démonstration facile par récurrence sur le nombre d'éléments de Y.

Modèle:Démonstration déroulante

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante Remarque. Soit G un groupe nilpotent fini, soit X une partie de G telle que $X\cup G^{\prime }$ engendre G. D'après le point (i), $G^{\prime }\le Frat(G)$, donc $X\cup Frat(G)$ engendre G. Puisque Frat(G) est fini, il en résulte, d'après l'énoncé 4, que X engendre G. Nous avons ainsi prouvé que si G est un groupe nilpotent fini, si X est une partie de G telle que $X\cup G^{\prime }$ engendre G, alors X engendre G. Nous avons déjà démontré ce fait dans le chapitre [[../Groupes nilpotents/]], énoncé 20, mais sans supposer G fini.

Remarque. Un groupe fini peut avoir deux parties génératrices minimales non équipotentes. Par exemple, si G est un groupe cyclique d'ordre 6, nous pouvons choisir dans G des éléments $a,b,c$ d'ordres respectifs 2, 3 et 6. Alors $\{a,b\}$ et $\{c\}$ sont clairement des parties génératrices minimales de G et ne sont pas équipotentes. Nous allons cependant voir que si G est un groupe fini dont l'ordre est une puissance de nombre premier, toutes les parties génératrices minimales de G sont équipotentes.

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante Remarque. Si le p-groupe fini G est abélien, l'ordre de Aut(G) peut être entièrement explicité en fonction de la [[../Groupes commutatifs finis, 2/|suite de diviseurs élémentaires de G]]. Voir par exemple Adolf Mader, « The Automorphism Group of Finite Abelian p-Groups », Ann. Sci. Math. Québec 36, No 2, (2012), 559–575, théorème 3.2, (3), p. 562, en ligne.