Théorie des groupes/Produit libre d'une famille de groupes

Dans ce chapitre, on va définir le produit libre d'une famille de groupes et montrer qu'il possède une propriété universelle analogue à celle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens. Le produit libre ne jouera qu'un rôle modeste dans le futur chapitre sur les présentations de groupes, de sorte que le lecteur intéressé par les présentations et non par le produit libre pourra passer immédiatement au chapitre sur les présentations (non encore écrit dans l'état actuel du cours).

Construction du produit libre

Étant donné une famille $(X_i{)}_{i\in I}$ d'ensembles, nous définirons l'ensemble somme de cette famille, ou encore la Modèle:W de cette famille, comme l'ensemble des couples (i, x), avec i dans $I$ et x dans X_i.

Pour tout ensemble X, notons Mo(X) l'ensemble des multiplets d'éléments de X. On sait que Mo(X) est un monoïde (le « monoïde libre construit sur X ») pour la loi de composition par « concaténation » :

$((x_1,\dots ,x_m),(y_1,\dots y_n))\mapsto (x_1,\dots ,x_m,y_1,\dots ,y_n).$

Nous avons déjà rencontré ce monoïde dans le chapitre [[../Groupes libres, premiers éléments/]]. Les éléments de Mo(X) sont souvent appelés les mots dans X. Le nombre naturel m est appelé la longueur du mot $(x_1,\dots ,x_m)$.

Pour un groupe G de neutre 1, on désignera par $G^{\mathrm{♯}}$ l'ensemble $G\setminus \{1\}$.

Soit $(G_i{)}_{i\in I}$ une famille de groupes. On notera 1_i le neutre de G_i. On désignera par $\Sigma$ l'ensemble somme de la famille $(G_i^{\mathrm{♯}}{)}_{i\in I}$.

Les éléments de Mo($\Sigma$) sont donc les multiplets de la forme

$((i_1,g_1),\dots ,(i_n,g_n))$,

où n parcourt les nombres naturels ($\ge 0$), où $i_1,\dots i_n$ parcourent $I$ et où, pour tout j dans {1, ... , n}, $g_j\in G_{i_j}\setminus \{1_{i_j}\}$.

Exemples

1) Le multiplet vide est réduit.

2) Tout 1-uplet de Mo($\Sigma$) est réduit.

3) Soient $i_1,i_2$ deux différents éléments de $I$, soient $g_1\in G_{i_1}^{\mathrm{♯}},g_2\in G_{i_2}^{\mathrm{♯}}$ et $g_3\in G_{i_1}^{\mathrm{♯}}$. Alors $((i_1,g_1),(i_2,g_2),(i_1,g_3))$ est un élément réduit de Mo($\Sigma$), mais $((i_2,g_2),(i_1,g_1),(i_1,g_3))$ n'en est pas un.

Nous allons maintenant munir $\ast i\in I{G}_i$ d'une loi de groupe *.

Convenons d'abord, pour alléger les notations, que dans l'écriture $(i,gh)$, avec $i$ dans $I$ et $g,h$ dans $G_i$, $gh$ désignera toujours le produit de $g$ et $h$ dans $G_i$. De même, dans l'écriture $(i,g^{-1})$, $g^{-1}$ désignera toujours l'inverse de $g$ dans $G_i$. (Cela doit être précisé, puisque les groupes $G_i$ ne sont pas supposés disjoints deux à deux.)

Soient $((i_1,g_1),\dots ,(i_m,g_m))$ et $((j_1,h_1),\dots ,(j_n,h_n))$ deux éléments de $\ast i\in I{G}_i$, autrement dit deux éléments réduits de Mo($\Sigma$).

Le « concaténé » de ces deux éléments, autrement dit leur produit dans le monoïde Mo($\Sigma$), est réduit si et seulement on n'est pas dans le cas $m\ge 1,n\ge 1$ et $i_m=j_1.$

Si on est dans le cas $m\ge 1,n\ge 1$ et $i_m=j_1$, il est assez naturel d'opérer une réduction du concaténé en procédant comme suit :

- si $g_m{h}_1$, calculé dans le groupe $G_{i_m}=G_{j_1}$, n'est pas égal au neutre de ce groupe, on fusionne le m-ième et le (m+1)-ième couple du concaténé, à savoir les couples $(i_m,g_m)$ et $(j_1,h_1)$, en les remplaçant par le couple $(i_m,g_m{h}_1)=(j_1,g_m{h}_1)$ ; autrement dit, on remplace le concaténé par le mot

$((i_1,g_1),\dots ,(i_{m-1},g_{m-1}),(i_m,g_m{h}_1),(j_2,h_2),\dots ,(j_n,h_n))$,

qui peut encore s'écrire

$((i_1,g_1),\dots ,(i_{m-1},g_{m-1}),(j_1,g_m{h}_1),(j_2,h_2),\dots ,(j_n,h_n))$ ;

- si maintenant $g_m{h}_1$, calculé dans le groupe $G_{i_m}=G_{j_n}$, est égal au neutre de ce groupe, on supprime du concaténé le m-ième et le (m+1)-ième couple, à savoir les couples $(i_m,g_m)=(j_1,g_m)$ et $(j_1,h_1)=(j_1,g_m^{-1})$.

Dans le second cas, il se peut que le résultat ne soit pas encore un mot réduit. On recommence alors l'opération de réduction jusqu'à ce qu'on tombe sur un mot réduit, ce qui doit arriver, puisqu'il est impossible de construire une suite infinie de mots de longueur strictement décroissante. Le mot réduit ainsi obtenu définit le composé (ou composé réduit)

$((i_1,g_1),\dots ,(i_m,g_m))\ast ((j_1,h_1),\dots ,(j_n,h_n))$.

Voici une description plus maniable des opérations.

Si $((k_1,x_1),\dots ,(k_r,x_r))$ est un élément de Mo($\Sigma$), si s est un nombre naturel tel que $0\le s\le r$, définissons le segment initial de longueur s de $((k_1,x_1),\dots ,(k_r,x_r))$ comme étant $((k_1,x_1),\dots ,(k_s,x_s))$ et définissons le segment final de longueur s de $((k_1,x_1),\dots ,(k_r,x_r))$ comme étant $((k_{r+1-s},x_{r+1-s}),(k_{r+2-s},x_{r+2-s}),\dots ,(k_r,x_r))$.

(Si s = 0, le segment initial de longueur s et le segment final de longueur s sont égaux au mot vide.)

Si maintenant $v=((i_1,g_1),\dots ,(i_m,g_m))$ est un élément réduit de Mo($\Sigma$), autrement dit un élément de $\ast i\in I{G}_i$, définissons l'inverse de $v$ comme étant $((i_m,g_m^{-1}),\dots ,(i_1,g_1^{-1})).$ Il est clair que l'inverse de $v$ est lui aussi un élément réduit de Mo($\Sigma$) et que l'inverse de cet inverse est $v$. (Nous verrons que $((i_1,g_1),\dots ,(i_m,g_m))$ et $((i_m,g_m^{-1}),\dots ,(i_1,g_1^{-1}))$ sont inverse l'un de l'autre selon la loi de groupe que nous allons définir dans $\ast i\in I{G}_i$.)

Soient maintenant $((i_1,g_1),\dots ,(i_m,g_m))$ et $((j_1,h_1),\dots ,(j_n,h_n))$ deux éléments réduits de Mo($\Sigma$).

Désignons par t le plus grand nombre naturel $\le$ min{m, n} tel que le segment final de longueur t de $((i_1,g_1),\dots ,(i_m,g_m))$ et le segment initial de longueur t de $((j_1,h_1),\dots ,(j_n,h_n))$ soient inverses l'un de l'autre.

Autrement dit, t est le plus grand nombre naturel $\le$ min{m, n} tel qu'il existe un élément (réduit) $((k_1,f_1),\dots ,(k_t,f_t))$ de Mo($\Sigma$) pour lequel

$((i_{m+1-t},g_{m+1-t}),\dots ,(i_m,g_m))=((k_1,f_1),\dots ,(k_t,f_t))$

et

$((j_1,h_1),\dots ,(j_t,h_t))=((k_t,f_t^{-1}),\dots ,(k_1,f_1^{-1})).$

Cela revient encore à dire que t est le plus grand nombre naturel $\le$ min{m, n} tel que

$(j_1,h_1)=(i_m,g_m^{-1})$

$(j_2,h_2)=(i_{m-1},g_{m-1}^{-1})$

...

$(j_t,h_t)=(i_{m+1-t},g_{m+1-t}^{-1}).$

Le nombre t étant ainsi défini (il existe et, si $(i_m,g_m^{-1})$ et $(j_1,h_1)$ sont distincts, il est égal à 0), on définit le composé

$((i_1,g_1),\dots ,(i_m,g_m))\ast ((j_1,h_1),\dots ,(j_n,h_n))$

comme égalant

$((i_1,g_1),\dots ,(i_{m-t},g_{m-t}),((j_{t+1},h_{t+1}),\dots ,(j_n,h_n))$

si on n'est pas dans le cas ($m-t\ge 1,n-t\ge 1$ et $i_{m-t}=j_{t+1}$) ;

$((i_1,g_1),\dots ,(i_{m-t-1},g_{m-t-1}),(i_{m-t},g_{m-t}{h}_{t+1}),(j_{t+2},h_{t+2}),\dots ,(j_n,h_n))$,

qu'on peut aussi écrire

$((i_1,g_1),\dots ,(i_{m-t-1},g_{m-t-1}),(j_{t+1},g_{m-t}{h}_{t+1}),(j_{t+2},h_{t+2}),\dots ,(j_n,h_n))$,

si on est dans le cas ($m-t\ge 1,n-t\ge 1$ et $i_{m-t}=j_{t+1}$).

Il est clair que, dans les deux cas, le composé

$((i_1,g_1),\dots ,(i_m,g_m))\ast ((j_1,h_1),\dots ,(j_n,h_n))$

est un élément réduit de Mo($\Sigma$). (Dans le second cas, où $i_{m-t}=j_{t+1}$, le fait que le composé appartient à Mo($\Sigma$) résulte du fait que, par maximalité de t, $g_{m-t}{h}_{t+1}=1_{i_{m-t}}=1_{j_{t+1}}.$)

Nous avons donc défini une loi de composition interne * dans l'ensemble $\ast i\in I{G}_i$ des éléments réduits de Mo($\Sigma$). Quand nous parlerons du composé (ou composé réduit) de deux éléments $v$ et $w$ de $\ast i\in I{G}_i$, il s'agira de $v\ast w.$

Par exemple, si $I=\{1,2\}$, si $G_1$ est le groupe multiplicatif des puissances de 3 (sous-groupe <3> de $\mathbb{Q},\times$), si $G_2$ est le groupe multiplicatif des puissances de 5, alors

$((2,5),(1,3^{-1}),(2,5^7),(1,3^8))$

et

$((1,3^{-8}),(2,5^{-7}),(1,3^2),(2,5^{-1}),(1,3^9))$

sont des éléments réduits de Mo($\Sigma$) et leur composé réduit

$((2,5),(1,3^{-1}),(2,5^7),(1,3^8))\ast ((1,3^{-8}),(2,5^{-7}),(1,3^2),(2,5^{-1}),(1,3^9))$

est

$((2,5),(1,3),(2,5^{-1}),(1,3^9)).$

Le fait que les indices 1 et 2 alternent n'est évidemment pas fortuit.

Modèle:Définition Si $I$ est la partie $\{1,2,\dots ,n\}$ de $\mathbb{N}$, on écrit souvent $G_1\ast \cdots \ast \cdots G_n$ au lieu de $\ast i\in I{G}_i$. En particulier, si G et H sont deux groupes, $G\ast H$ désigne le produit libre de la famille $(K_i{)}_{i\in \{1,2\}}$, avec $K_1=G$ et $K_2=H.$

Il y a une certaine ambigüité dans ces notations, car par exemple $G_1\ast G_2\ast G_3$ n'est généralement pas identique à $(G_1\ast G_2)\ast G_3$, mais nous verrons dans les exercices que ces deux groupes sont isomorphes.

Remarques.

1° Soit $(G_i{)}_{i\in I}$ une famille de groupes deux à deux disjoints. (On pourrait même se contenter de supposer que les $G_i^{\mathrm{♯}}$ sont deux à deux disjoints.) Alors, pour un élément $g$ de $\bigcup _{i\in I}{G}_i$, il n'existe qu'un élément $i$ de $I$ tel que $g$ appartienne à $G_i$. On peut donc parler des multiplets $(g_1,\dots ,g_n)$, où $n$ parcourt $\mathbb{N}$, où $g_1,\dots ,g_n$ parcourent $\bigcup _{i\in I}{G}_i^{\mathrm{♯}}$ et où il n'y a pas de $j\in \{1,\dots n-1\}$ tel que l'unique $G_i$ comprenant $g_j$ soit le même que celui qui comprend $g_{j+1}.$ En imitant notre définition du produit libre, on peut munir l'ensemble des multiplets en question d'une structure de groupe et le groupe P ainsi obtenu est isomorphe à $\ast i\in I{G}_i$ par

$\ast i\in I{G}_i\to P:((i_1,g_1),\dots ,(i_n,g_n))\mapsto (g_1,\dots ,g_n).$

Pour construire le produit libre d'une famille $(G_i{)}_{i\in I}$ de groupes, certains auteurs se ramènent au cas où les $G_i$ sont deux à deux disjoints et définissent alors leur produit libre comme le groupe que nous avons noté P ; ils ajoutent qu'on passe au cas général en choisissant des copies mutuellement disjointes des $G_i$. On a préféré une méthode qui ne demande pas de faire des choix arbitraires et qui s'applique directement au cas où les $G_i$ ne sont pas forcément disjoints deux à deux. (En fait, si l'on munit $\{i\}\times G_i$ de la structure de groupe transportée de $G_i$ par la bijection $G_i\to \{i\}\times G_i:g\mapsto (i,g)$, le produit libre des $G_i$ selon notre définition est le produit libre des groupes deux à deux disjoints $\{i\}\times G_i$ selon la définition des auteurs en question.)

2° Le produit libre d'une famille $(G_i{)}_{i\in I}$ de groupes, tel que nous l'avons défini, ne dépend pas des neutres des $G_i$. Dans le même ordre d'idées, si $(G_i{)}_{i\in I}$ est une famille de groupes, si J est une partie de I telle que, pour tout $i$ dans $I\setminus J$, le groupe $G_i$ soit trivial, alors $\ast i\in I{G}_i$ est égal à $\ast j\in J{G}_j.$

3° On vérifie facilement que si $(G_i{)}_{i\in I}$ est une famille de groupes et $J$ une partie de $I$, alors $\ast j\in J{G}_j$ est un sous-groupe de $\ast i\in I{G}_i$.

4° Soient $(G_i{)}_{i\in I}$ et $(H_i{)}_{i\in I}$ deux familles de groupes telles que, pour tout $i$ dans $I$, $G_i$ soit un sous-groupe de $H_i.$ On vérifie facilement que $\ast i\in I{G}_i$ est un sous-groupe de $\ast i\in I{H}_i$.

Propriété universelle du produit libre

Avant d'énoncer la propriété universelle du produit libre, donnons un théorème préparatoire. Modèle:Théorème On va donner la démonstration, bien que tout soit assez banal. Modèle:Démonstration déroulante Remarque. Au lieu de $((i_1,g_1),\dots ,(i_n,g_n))$, on emploie souvent la notation $g_1\cdots g_n$ pour désigner un élément de $\ast i\in I{G}_i$, tout en supposant que $g_1,\dots ,g_n$ appartiennent à la réunion des $G_i^{\mathrm{♯}}$. Cela revient à identifier, pour chaque $i$ dans $I$, le sous-groupe ${\phi }_i(G_i)$ de $\ast i\in I{G}_i$ au groupe $G_i$. Si on ne suppose pas que les $G_i$ se coupent trivialement deux à deux, cette notation rend (théoriquement) ambiguë la loi de composition du groupe $\ast i\in I{G}_i$ dans le cas où une réduction est nécessaire. Dans le présent cours, on s'en tiendra à la notation $((i_1,g_1),\dots ,(i_n,g_n))$, mais le lecteur doit savoir que la notation $g_1\cdots g_n$ est courante et que l'éviter risque d'être considéré par certains comme une mauvaise pratique.

Remarque. Le lecteur qui connaît les éléments de la Modèle:W notera que la propriété universelle qu'on vient de démontrer revient à dire que le produit libre $\ast i\in I{G}_i$ et la famille $({\phi }_i{)}_{i\in I}$ constituent dans la catégorie des groupes un coproduit (appelé aussi somme) de la famille $(G_i{)}_{i\in I}.$

Dans le chapitre [[../Produit direct et somme restreinte/]], nous avons prouvé que si $(A_i{)}_{i\in I}$ est une famille de groupes abéliens, la somme directe $\sum _{i\in I}{A}_i$ et la famille $({\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{l}}_i{)}_{i\in I}$ des inclusions canoniques correspondantes constituent un coproduit (ou somme) de la famille $(A_i{)}_{i\in I}$ dans la catégorie des groupes abéliens. Si $(A_i{)}_{i\in I}$ est une famille de groupes abéliens, le produit libre $\ast i\in I{A}_i$ de cette famille est un groupe généralement non abélien et n'est donc généralement pas un coproduit des $A_i$ dans la catégorie des groupes abéliens.

La propriété universelle du produit libre admet une sorte de réciproque : Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante Remarque. On a rédigé la démonstration de sorte qu'elle ne repose pas sur la construction du produit libre mais uniquement sur sa propriété universelle. Cette démonstration se généralise immédiatement au coproduit dans n'importe quelle catégorie.

Les groupes libres comme produits libres

Nous allons voir dans cette section que le groupe libre F(X) construit sur l'ensemble X pourrait être défini comme un cas particulier de produit libre. On désignera par $\mathbb{Z}$ le groupe additif $(\mathbb{Z},+)$.

Remarques. 1° L'isomorphisme $\ast x\in X\mathbb{Z}\to F(X)$ fourni par ce corollaire applique l'élément $((x,1))$ de $\ast x\in X\mathbb{Z}$ sur ce même élément $((x,1))$ de F(X), donc l'application

$((x_1,n_1),\dots ,(x_r,n_r))\mapsto {\widetilde{x_1}}^{n_1}\cdots {\widetilde{x_r}}^{n_r}=((x_1,1){)}^{n_1}\cdots ((x_r,1){)}^{n_r}$

de l'ensemble $\ast x\in X\mathbb{Z}$ dans l'ensemble F(X) est une bijection, ce qu'on avait annoncé dans le chapitre [[../Groupes libres, premiers éléments/]], section « Seconde forme des éléments de F(X) ».

2° Puisque le produit libre $\ast x\in X\mathbb{Z}$ est canoniquement isomorphe au groupe libre F(X), il rend les mêmes services que F(X), ce qui explique que certains auteurs définissent F(X) comme égal à $\ast x\in X\mathbb{Z}$. Il faut cependant noter que la longueur d'un élément $w$ de F(X), telle qu'on l'a définie au chapitre [[../Groupes libres, premiers éléments/]], n'est généralement pas égale à la longueur, définie dans le présent chapitre, de l'élément de $\ast x\in X\mathbb{Z}$ correspondant à $w$.

Produit libre interne

Soient G un groupe et $(G_i{)}_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G. Pour tout $i$ dans $I$, désignons par $f_i$ l'homomorphisme $t\mapsto t$ de $G_i$ dans G. D'après la propriété universelle du produit libre, il existe un et un seul homomorphisme $f$ de $\ast i\in I{G}_i$ dans G tel que, pour tout $j$ dans $I$,

$f_j=f\circ {\phi }_j$,

où l'homomorphisme ${\phi }_j:G_j\to \ast i\in I{G}_i$ est la j-ième inclusion canonique (définie au théorème 2).

L'homomorphisme $f$ applique l'élément $((i_1,g_1),\dots ,(i_n,g_n))$ de $\ast i\in I{G}_i$ sur l'élément $g_1\cdots g_n$ de G.

Donc si G est un groupe et $(G_i{)}_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G, dire que G est le produit libre interne de la famille $(G_i{)}_{i\in I}$ revient à dire que pour tout élément $g$ de G, il existe un et un seul élément $((i_1,g_1),\dots ,(i_n,g_n))$ de $\ast i\in I{G}_i$ tel que

$g=g_1\cdots g_n.$

Pour distinguer entre le produit libre interne et le produit libre $\ast i\in I{G}_i$ au premier sens de l'expression, on désigne parfois $\ast i\in I{G}_i$ comme le produit libre externe des $G_i.$

D'autre part, on commet parfois l'abus d'écrire $G=\ast i\in I{G}_i$ pour dire que G est le produit libre interne des $G_i.$

Voici une caractérisation du produit libre interne qui ne fait pas intervenir le produit libre externe.

Modèle:Théorème Démonstration. Voir les exercices.

On vérifie facilement (par exemple à l'aide du théorème 6) que si $(G_i{)}_{i\in I}$ est une famille de groupes, si pour tout $j$ dans $I$, ${\phi }_j:G_j\to \ast i\in I{G}_i$ désigne la j-ième inclusion canonique, alors le produit libre externe $\ast i\in I{G}_i$ est le produit libre interne de la famille $({\phi }_i(G_i){)}_{i\in I}.$