Théorie des groupes/Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux

Notions essentielles

Remarques. 1. Les auteurs n'imposent pas tous à G d’être non réduit à l'élément neutre.
2. On montre facilement que tout groupe isomorphe à un groupe caractéristiquement simple est caractéristiquement simple.
3. On montre facilement que si V est un groupe de Klein (produit direct de deux groupes d'ordre 2), les trois sous-groupes d'ordre 2 de V sont images l'un de l'autre par des automorphismes de V et ne sont donc pas des sous-groupes caractéristiques de V. Il en résulte que V est caractéristiquement simple. Nous déterminerons plus loin la structure de tous les groupes caractéristiquement simples finis.

Remarque. On a vu qu'un groupe de Klein est caractéristiquement simple. Comme un groupe de Klein n'est évidemment pas simple, ceci montre qu'un groupe caractéristiquement simple n’est pas forcément simple.

Remarques.

1. Ce lemme nous servira dans la démonstration du [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall|théorème de Schur-Zassenhaus]].
2. Nous verrons plus loin une description des groupes caractéristiquement simples finis qui fournira, dans le cas fini, un résultat beaucoup plus précis que le présent lemme.

En d'autres termes, un sous-groupe normal minimal de G est un sous-groupe normal $N=1$ de G tel que les seuls sous-groupes normaux de G contenus dans N soient 1 et N.

Remarque. L'expression « sous-groupe normal minimal » est quelque peu abusive, puisque, en toute rigueur, le sous-groupe réduit à l'élément neutre est le seul sous-groupe normal minimal pour la relation d'inclusion. Cet abus est cependant quasi universel.

Exemple. On a vu au chapitre [[../Groupes alternés|Groupes alternés]] que les sous-groupes normaux du groupe alterné A₄ sont 1, V et A₄, où V désigne le sous-groupe de Klein de A₄. Donc V est un sous-groupe normal minimal de A₄.

Modèle:Lemme Démonstration facile, laissée au lecteur.

Remarques. 1° On a vu que le sous-groupe de Klein V de A₄ est un sous-groupe normal minimal de A₄. Donc le théorème qui précède fournit une nouvelle démonstration du fait qu'un groupe de Klein est caractéristiquement simple.
2° On verra dans les exercices que tout groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre) peut être plongé dans un groupe dont il est sous-groupe normal minimal. C'est une réciproque du théorème qui précède.

Remarques.

1. Nous avons en fait démontré qu'on peut prendre les H_i de l'énoncé tels que, pour chaque i, il existe un automorphisme de G qui applique H sur H_i. Cela peut sembler plus fort que de dire seulement, comme dans l'énoncé, que les H_i sont tous isomorphes à H, mais cela ne l'est pas vraiment. Par exemple, du fait que H₁ est isomorphe à H₂ et que $G=H_1\times H_2\times H_3\times \dots \times H_n=H_2\times H_1\times H_3\times \dots \times H_n,$ on tire, à l'aide d'un corollaire de la propriété universelle de la somme restreinte, qu’il existe un automorphisme de G qui applique H₁ sur H₂.
2. Dans le précédent théorème, l'hypothèse selon laquelle G est fini peut être levée, à condition d'énoncer le théorème comme suit : « Soient G un groupe caractéristiquement simple et H un sous-groupe normal minimal de G. Le groupe H est simple et G est somme restreinte d'une famille (non forcément finie) de sous-groupes simples tous isomorphes à H, H étant égal à l'un d'eux. » (Voir W.R. Scott, Group Theory, 1964, repr. Dover, 1987, p. 73.)

En fait, les groupes simples dont question dans le corollaire 2 peuvent être pris non seulement isomorphes entre eux mais conjugués dans G. Nous allons le prouver en copiant presque la démonstration du théorème précédent.

Rappelons une définition qui a été donnée au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1|Groupes commutatifs finis, 1]] :

On a vu au même chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1|Groupes commutatifs finis, 1]] qu'un p-groupe abélien élémentaire (fini ou infini) est le groupe additif d'un espace vectoriel sur le corps à p éléments et est donc la somme directe d'une famille de groupes d'ordre p.

Compléments

On a prouvé dans la première partie du chapitre que tout groupe fini caractéristiquement simple est produit direct de groupes simples isomorphes entre eux. On va maintenant prouver une réciproque forte de ce théorème, à savoir que tout groupe qui est somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de groupes simples tous isomorphes entre eux est caractéristiquement simple. Cette réciproque est moins importante que le théorème direct, donc la présente section peut être omise en première lecture.

On désignera la somme restreinte de deux sous-groupes par le symbole $\times$ et la somme restreinte d'une famille de sous-groupes par le symbole $\sum$.

Remarque. Si on ne suppose pas que les groupes simples G_i sont non abéliens, le théorème devient faux. Par exemple, soient p un nombre premier et H un groupe (cyclique) d'ordre p. Le produit direct externe $H\times H$ est abélien, donc tous ses sous-groupes sont normaux. En particulier, si nous choisissons un générateur a de H, le sous-groupe de $H\times H$ engendré par l'élément (a, a) de $H\times H$ est un sous-groupe normal de $H\times H$. Pourtant, il n'est égal ni à {1}, ni à $H\times 1$, ni à $1\times H$ ni à $H\times H$.

Modèle:Lemme

Modèle:Théorème