Théorie des groupes/Exercices/Théorème de Gaschütz

Problème 1 (très facile)

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Prouver que si deux compléments de H dans G sont en relation d'inclusion, ils sont égaux.

Problème 2

Dans la partie théorique, on a démontré une forme faible du théorème de Schur-Zassenhaus, à savoir : si E est un groupe fini, si H est un sous-groupe de Hall normal et abélien de E, alors H admet un complément dans E. On va donner ici une autre démonstration de cet énoncé. Cette démonstration fait intervenir des notions qui apparaissent dans la théorie cohomologique des groupes, mais elle ne requiert aucune connaissance de cette théorie.

a) Montrer que, pour prouver la forme faible du théorème de Schur-Zassenhaus, il suffit de prouver l'énoncé suivant :

(1) Soient G un groupe fini, p un homomorphisme surjectif de G sur un groupe (fini) Q tel que Ker(p) soit abélien et que les ordres |Ker(p)| et |Q| soient premiers entre eux. Alors p admet un homomorphisme section, c'est-à-dire qu’il existe un homomorphisme s de Q dans G tel que p ∘ s = id_Q.

(Utiliser un exercice de la série [[../Produit semi-direct|Produit semi-direct]].)

Dans la suite du présent problème, on va démontrer l'énoncé (1). On supposera que les hypothèses de cet énoncé (1) sont satisfaites, c'est-à-dire que G est un groupe fini et p un homomorphisme surjectif de G sur un groupe (fini) Q tel que Ker(p) soit abélien et que les ordres |Ker(p)| et |Q| soient premiers entre eux.
On écrira K pour Ker(p).

b) Puisque l’application p est surjective, nous pouvons choisir une application section s de p, c'est-à-dire une application s de Q dans G telle que p ∘ s = id_Q. Cette application s sera fixée dans toute la suite du problème.
Prouver qu’il existe un et un seul homomorphisme θ : x ↦ θ_x de Q dans Aut(K) tel que, pour tout x dans Q et tout k dans K,

θ_x(k) = s(x) k s(x)^-1.

c) Pour tous éléments x, y de Q, il est clair que s(x) s(y) s(xy)^-1 appartient à Ker(p) = K. (On a déjà noté un fait équivalent au point b), en montrant que θ est un homomorphisme.) On peut donc définir une application f de l’ensemble Q × Q dans l’ensemble K par

(2) f(x, y) = s(x) s(y) s(xy)^-1

pour tous éléments x, y de Q.
(En langage cohomologique, f est le système de facteurs associé à l'extension K ⟶ G ⟶ Q et à l’application section s de p, K ⟶ G désignant l'homomorphisme inclusion x ↦ x de K dans G et G ⟶ Q l'homomorphisme p.)
On vérifie facilement qu'en général, f dépend de l’application section s choisie.
Prouver que f satisfait à la relation

(3) f(x, y) f'(xy, z) = θ_x(f(y, z)) f(x, yz)

pour tous x, y, z dans Q. (En langage cohomologique, ceci exprime que f est un 2-cocycle relatif à Q, K et θ.)

d) Prouver que si f désigne l’application définie par la relation (2) du point c), il existe une application h de Q dans K telle que, pour tous éléments x, y de Q,

(4) f(x, y) = θ_x(h(y)) h(xy)^-1 h(x).

(En langage cohomologique, ceci exprime que f est un 2-cobord relatif à Q, K et θ.) Indication : montrer qu’il est légitime de définir une application h₀ de Q dans K par

$h_0(x)=\prod _{y\in Q}f(x,y)$

pour tout élément x de Q. Prendre le produit des relations (3) du point c) quand z parcourt Q et faire apparaître h₀ dans le résultat. Prendre pour h une fonction $x\mapsto h_0(x{)}^t$ pour un nombre naturel t convenable.

e) Soit h une application de Q dans K satisfaisant à la relation (4) de l'énoncé d). Prouver que l’application s' : x ↦ h(x)^-1 s(x) de Q dans G est un homomorphisme section de p. (Comme on l'a vu, la forme faible du théorème de Schur-Zassenhaus en résulte.)