Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupes caractéristiques

Problème 1

Soient H un groupe non commutatif et K un sous-groupe commutatif de H non contenu dans le centre de H. Puisque K est sous-groupe de H, il est clair que pour tout élément (x, y) de $K\times H$, (1,x) appartient lui aussi à $K\times H$. Il est clair aussi que l’application f : $(x,y)\mapsto (1,x)$ est un endomorphisme de $K\times H$. Montrer que le centre $Z(K\times H)$ de $K\times H$ n’est pas stable pour cet endomorphisme, c’est -à-dire que

$f(Z(K\times H))\subseteq ̸Z(K\times H)$.

En déduire que le centre d'un groupe n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme de ce groupe, ce qui montre qu'un sous-groupe caractéristique n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme.

Problème 2

Soient G un groupe fini et p un nombre premier. On a vu dans les exercices de la série Théorèmes de Sylow que l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont des sous-groupes normaux de G. Prouver que ce sont des sous-groupes caractéristiques de G.

Problème 3

Soient G un groupe et K un sous-groupe caractéristique de G.
a) Prouver que pour tout automorphisme $\sigma$ de G, il existe un et un seul automorphisme de G/K qui, pour tout élément $g$ de G, applique l'élément gK de G/K sur l'élément $(\sigma (g))K$ de G/K. Modèle:Clr Modèle:Solution b) Pour tout automorphisme $\sigma$ de G, on désigne, comme dans la solution du point a), par $\overline{\sigma }$ l'unique automorphisme de G/K qui, pour tout élément $g$ de G, applique l'élément gK de G/K sur l'élément $(\sigma (g))K$ de G/K. Prouver que l'application

$\sigma \mapsto \overline{\sigma }$

est un homomorphisme de Aut(G) dans Aut(G/K). Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. Cet exercice nous servira dans le chapitre [[../../Sous-groupe de Frattini/]].