Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient

Problème 1

Prouver que tout sous-groupe d'indice 2 est normal.

Problème 2

Désignons par S le groupe des permutations de l’ensemble E = {1, 2, 3}, la loi de groupe étant la composition (f, g) ↦ f ∘ g. Désignons par id la permutation identique de E. Si a et b sont deux différents éléments de E, désignons par (a b) la permutation de E qui applique a sur b, b sur a et laisse donc fixe l'élément de E distinct de a et de b. Il est clair que {id, (1 2)} est un sous-groupe de S. Prouver que ce n’est pas un sous-groupe normal de S. Modèle:Solution

Problème 3

Soient G un groupe et $(H_i{)}_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G. On désigne par H le sous-groupe de G engendré par les H_i. Prouver que

$(1)\bigcap _{i\in I}{N}_G(H_i)\subseteq N_G(H)$

et que l'inclusion réciproque n’est pas forcément vraie.

Problème 4

Soient G₁ et G₂ deux groupes, f un homomorphisme surjectif de G₁ sur G₂. Soit A une partie de G₁. Désignons par Dist(A) le sous-groupe distingué de G₁ engendré par A. Prouver que f(Dist(A)) est le sous-groupe distingué de G₂ engendré par f(A).

Problème 5

Soient G un groupe et H, K des sous-groupes normaux de G tels que H ⋂ K = 1. Tout élément de H commute avec tout élément de K. (Indication : x étant un élément de H et y un élément de K, considérer l'élément x^-1 y^-1 x y de G. Nous retrouverons les éléments de la forme x^-1 y^-1 x y au chapitre [[../../Commutateurs, groupe dérivé|Commutateurs, groupe dérivé]].)

Modèle:Solution Remarque. L'énoncé de ce problème nous servira au chapitre [[../../Produit direct et somme restreinte|Produit direct et somme restreinte]].

Problème 6

Soient $G$ un groupe, $H$ un sous-groupe distingué de $G$ et $K$ un sous-groupe de $G$ contenant $H$. Notons $G/K$ l’ensemble des classes à gauche de $G$ suivant $K$ (ici, $G/K$ n'est donc pas nécessairement un groupe, contrairement à $G/H$).

1. Montrer qu’il existe une unique application $h$ de $G/H$ dans $G/K$ telle que, pour tout $x$ dans $G$, $h(xH)=xK$.
2. Montrer que, pour tous $X$ et $Y$ dans $G/H$, $h(X)=h(Y)$ équivaut à ce que $X$ et $Y$ appartiennent à la même classe à gauche du groupe $G/H$ suivant son sous-groupe $K/H$.

Problème 7

a) Soient G et H deux groupes. Prouver que (comme énoncé dans le chapitre théorique) les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1° il existe un homomorphisme surjectif de G sur H;

2° il existe un sous-groupe normal N de G tel que H soit isomorphe au groupe quotient G/N.

Modèle:Solution b) Supposons que les conditions 1° et 2° du point a) sont satisfaites. (Comme signalé dans le chapitre théorique, on exprime souvent ce fait en disant que H « est un quotient » de G.) Prouver que pour tout groupe K,

$|Hom(H,K)|\le |Hom(G,K)|.$

(Indication : à partir d'un homomorphisme surjectif de G sur H, définir une injection de Hom(H, K) dans Hom(G, K).) Modèle:Solution Remarque. Le point b) nous servira dans une démonstration de l'équipotence des bases d'un même [[../../Groupes libres, premiers éléments|groupe libre]].

Problème 8

Soient A et B des groupes abéliens. Prouver que pour tout homomorphisme $f$ de A dans B, les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1° $f$ est surjectif;

2° pour tout groupe abélien C, pour tous homomorphismes $g$ et $h$ de B dans C, la relation $g\circ f=h\circ f$ entraîne $g=h.$

Indication : pour prouver que 2° entraîne 1°, on peut prendre pour C le quotient de B par un certain sous-groupe de B (dépendant de $f$) dont une certaine propriété équivaut à ce que $f$ soit surjectif.

Remarque. L'énoncé de ce problème exprime que les épimorphismes de la catégorie des groupes abéliens sont les homomorphismes surjectifs entre groupes abéliens. On a un énoncé analogue pour la catégorie des groupes (voir un exercice de la série [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]]).

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