Théorie des groupes/Exercices/Produit semi-direct

Problème 1 (facile)

Si G est un groupe et H un sous-groupe (non forcément distingué) de G, on a vu qu'un sous-groupe K de G est appelé un complément de H (dans G) si H ∩ K = 1 et HK = G (d'où KH = G).
Soient p un nombre premier et G un groupe cyclique d'ordre pModèle:Exp. Soit H le sous-groupe d'ordre p de G. Prouver que H est un sous-groupe distingué de G qui n'a pas de complément dans G.

Problème 2 (facile)

Soient G un groupe fini, H un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G. On suppose que $H\cap K=1$ et que $|H|\cdot |K|=|G|$. Prouver que G est produit semi-direct de H par K.

Problème 3 (facile)

Soient a et b des nombres naturels premiers entre eux, G un groupe fini d'ordre ab. Si H est un sous-groupe distingué d'ordre a de G et K un sous-groupe d'ordre b de G, G est produit semi-direct de H par K.

Problème 4 (facile)

Soit n un nombre naturel ≥ 2, soit τ une transposition ∈ S_n. Prouver que S_n est produit semi-direct de A_n par le sous-groupe <τ>.

Problème 5 (facile)

Montrer que S₃ et Z/6Z sont tous deux produits semi-directs d'un groupe d'ordre 3 par un groupe d'ordre 2. En conclure que si un groupe G₁ est produit semi-direct d'un sous-groupe distingué H₁ par un sous-groupe K₁, si un groupe G₂ est produit semi-direct d'un sous-groupe distingué H₂ par un sous-groupe K₂, si H₁ est isomorphe à H₂, si K₁ est isomorphe à K₂, G₁ n’est pas forcément isomorphe à G₂.

Problème 6

Soient G et Q des groupes, soit p un homomorphisme de G dans Q, soit s un homomorphisme section de p, c'est-à-dire un homomorphisme tel que p ∘ s = id_Q. (L'existence d'une telle application s entraîne que p est surjectif.) Prouver que G est produit semi-direct de Ker(p) (noyau de p) par Im(s) (image de s, autrement dit s(Q)). Modèle:Clr Modèle:Solution Cet exercice nous servira dans un exercice de la série [[../Théorème de Gaschütz|Théorème de Gaschütz]] (démonstration de la forme faible du théorème de Schur-Zassenhaus).

Problème 7

Soient p et q des nombres premiers distincts, avec par exemple p > q. On va classifier les groupes d'ordre pq.

a) Soient H et N des groupes, soient $\phi$ et $\psi$ des homomorphismes injectifs de H dans Aut(N) tels que $\phi (H)=\psi (H)$. Prouver que les deux actions correspondantes de H sur N par automorphismes sont quasi équivalentes (de sorte que $N\underset{\phi }{⋊}H\cong N\underset{\psi }{⋊}H$). Modèle:Clr Modèle:Solution b) Dans les hypothèses ci-dessus sur p et q, soit G un groupe d'ordre pq. Prouver que G est le produit semi-direct (interne) d'un groupe d'ordre p par un groupe d'ordre q. Modèle:Solution c) On suppose que p ≢ 1 (mod q). Prouver que les groupes d'ordre pq sont tous cycliques (et donc tous isomorphes entre eux). Modèle:Clr Modèle:Solution

d) On suppose maintenant que p ≡ 1 (mod q). Prouver qu'il existe des groupes d'ordre pq non cycliques et qu'ils sont tous isomorphes entre eux (de sorte que les groupes d'ordre pq se partagent en deux classes d'isomorphie). Prouver aussi que les groupes d'ordre pq non cycliques sont non abéliens. (Indication : pour prouver que les groupes d'ordre pq non cycliques sont isomorphes, on peut utiliser le point a).) Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 8

Soit G un groupe. On suppose que G = AB, où A est un sous-groupe normal de G et B un sous-groupe de G. (On ne suppose pas que A ⋂ B = 1, autrement dit que A est produit semi-direct de A par B.) Soit θ : b ↦ θ_b : a ↦ b a b^-1 l'homomorphisme de B dans Aut(A) correspondant à l'action de B sur A par conjugaison. On désignera par A ⋊_θ B le produit semi-direct externe de A par B relativement à θ.

a) Prouver que l’application f : (a, b) ↦ ab de A ⋊_θ B dans G est un homomorphisme dont le noyau est l’ensemble des couples (c^-1, c), où c parcourt A ⋂ B.

b) Prouver que G est isomorphe au quotient de A ⋊_θ B par un sous-groupe normal N de A ⋊_θ B possédant les propriétés suivantes :

1° N ⋂ (A × {1}) = 1;

2° N ⋂ ({1} × B) = 1;

3° N est isomorphe à A ⋂ B.

Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. Le point b) nous servira dans l'étude des groupes dicycliques.

Problème 9

Montrer que ${ℝ}^{*}\times ℝ$, muni de la loi $*$ définie par $(x,y)*(x^{\prime },y^{\prime })=(x{x}^{\prime },\frac{y}{x^{\prime }}+x{y}^{\prime })$, est un groupe. Modèle:Solution

Problème 10

Soit $p$ un nombre premier. Prouver que le produit semi-direct (interne ou externe) de deux p-groupes (finis ou infinis) est un p-groupe. (Indication : c'est un cas particulier d'un [[../Théorèmes de Sylow/|exercice sur le chapitre Théorèmes de Sylow]].) Modèle:Solution Remarque. L'énoncé du problème 10 nous servira dans [[../Produit en couronne/|un exercice sur le produit en couronne]].