Théorie des groupes/Exercices/Produit en couronne

Problème 1 (facile)

Soient X et Y des ensembles. Pour tout élément $\eta$ de SModèle:Ind et tout élément y de Y, on définit ${\eta }_{Y,y}$ comme dans le chapitre théorique. Prouver que, pour tout élément y de Y, $\eta \mapsto {\eta }_{Y,y}$ définit un homomorphisme injectif du groupe SModèle:Ind dans le groupe S _{X × Y}. (C'est le lemme 1 du chapitre théorique.) Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 2 (facile)

Soient X et Y des ensembles, X étant non vide. Pour tout élément $\kappa$ de SModèle:Ind, on définit ${\kappa }_X^{*}$ comme dans le chapitre théorique. Prouver que $\kappa \mapsto {\kappa }_X^{*}$ définit un homomorphisme injectif du groupe SModèle:Ind dans le groupe S _{X × Y}. (C'est le lemme 2 du chapitre théorique.) Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 3

On a prouvé dans le chapitre théorique que pour tout nombre naturel n et tout nombre premier p,

$v_p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+\cdots$

où $v_p(r)$ désigne l'exposant de p dans la décomposition du nombre naturel non nul r et où la somme du second membre s'arrête dès qu'un terme est nul. Donner une autre démonstration, en raisonnant par récurrence sur n. Modèle:Clr Modèle:Solution

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