Théorie des groupes/Exercices/Le théorème p-q de Burnside
Problème 1
0n va démontrer un théorème plus fort que le théorème p-q de Burnside. La démonstration dépend du théorème qu'on a appelé « théorème de non-simplicité de Burnside » dans le chapitre théorique, et dépend donc de la théorie des caractères, mais non du théorème p-q de Burnside.
a) Soit G un groupe fini. On suppose que G a un sous-groupe nilpotent H tel que l'indice [G:H] soit une puissance de nombre premier. Prouver que G est résoluble.
(Indication. Raisonner par récurrence sur l'ordre de G. Soit p un nombre premier tel que [G:H] soit une puissance de p. Se ramener au cas où H > 1 et montrer que dans ce cas, il existe un élément non neutre x de H tel que soit une puissance de p. À l'aide du « théorème de non-simplicité de Burnside », se ramener au cas où G n'est pas simple. Soit alors K un sous-groupe normal de G tel que 1 < K < G; appliquer l'hypothèse de récurrence, d'une part au groupe G/K et à son sous-groupe HK/K, d'autre part au groupe K et à son sous-groupe
b) Montrer que dans l'énoncé du point a), on peut supprimer l'hypothèse selon laquelle G est fini. Autrement dit : soit G un groupe (fini ou infini); on suppose qu'il existe un sous-groupe nilpotent H de G tel que l'indice de H soit fini et égal à une puissance de nombre premier; alors G est résoluble. (Indication : raisonner sur le groupe où désigne le cœur de H dans G (chapitre Premiers résultats sur les groupes simples).