Théorie des groupes/Exercices/Intermède : groupes simples d'ordre 168

Problème 1

a) Soit G un groupe fini, soit p un nombre premier; on suppose que $n_p(G)$ (nombre des p-sous-groupes de Sylow de G) est le plus petit diviseur d de $|G|$ tel que d > 1 et d ≡ 1 (mod p).
Soient P, Q deux différents p-sous-groupes de Sylow de G. Prouver que $P\cap Q$ est contenu dans tous les p-sous-groupes de Sylow de G. (Indication : utiliser l'énoncé qu'on a appelé « lemme de l'intersection maximale » dans le chapitre théorique.)

b) Soit G un groupe fini, soit p un nombre premier; on suppose que

1° $n_p(G)$ est le plus petit diviseur d de $|G|$ tel que d > 1 et d ≡ 1 (mod p);

2° $n_p(G)$ n'est pas congru à 1 modulo la plus grande puissance de p qui divise l'ordre de G.

Prouver que G n'est pas simple. (Utiliser le point a) et une forme forte du théorème de congruence de Sylow qu'on a démontrée dans les exercices sur les théorèmes de Sylow.)

c) Soit G un groupe d'ordre 4400. Prouver que G n'est pas simple. (Indication. Si le nombre $n_5(G)$ des 5-sous-groupes de Sylow de G est égal à 16 ou à $16\times 11$, utiliser le théorème du complément normal de Burnside; si $n_5(G)=11,$ utiliser le point b).)

Problème 2

Soit G un groupe simple d'ordre 168, soit H un sous-groupe d'ordre 2 de G. Prouver que H est contenu dans exactement cinq 2-sous-groupes de Sylow de G.

Remarque. Comme 5 ne divise pas 168, cela montre qu'on ne peut pas énoncer ce renforcement d'un théorème de Sylow : soit G un groupe fini, soit p un nombre premier, soit P un p-sous-groupe de G; le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G qui contiennent P divise l'ordre de G.