Théorie des groupes/Exercices/Holomorphe d'un groupe

Problème 1

Soit n un nombre naturel ≥ 3. Prouver que le groupe diédral D_2n est isomorphe à un sous-groupe de Hol(ℤ/nℤ) (où ℤ/nℤ est muni de sa structure de groupe). Modèle:Solution

Problème 2

Soit n un des nombres 3, 4 et 6. Prouver que Hol(ℤ/nℤ) est isomorphe au groupe diédral D_2n. Modèle:Solution

Problème 3

Soit G un groupe. Prouver que Hol G est le normalisateur de G^l dans S_G. Modèle:Solution

Problème 4

L'objet de ce problème est de prouver que pour tout nombre naturel n ≥ 3, Aut(D_2n) est isomorphe à Hol(ℤ/nℤ) (où D_2n désigne le groupe diédral d'ordre 2n et où ℤ/nℤ est muni de sa structure de groupe).

Convention de notation. Soit G un groupe, noté multiplicativement, soit r un nombre naturel non nul, soit a un élément de G tel que a^r = 1. Si X est un élément de ℤ/rℤ alors, pour tous éléments x, xModèle:' de X, a^x = a^x' donc on peut désigner sans ambiguïté par a^X la valeur de a^x, où x est n’importe quel élément de X. Pour deux éléments X, Y de ℤ/rℤ, on a encore a^X+Y = a^X a^Y et a^XY = (a^X)^Y.

En particulier, l'élément –1 du groupe multiplicatif des éléments inversibles de l'anneau ℤ/nℤ satisfait à la condition (–1)² = 1, donc si X est un des deux éléments de ℤ/2ℤ, (–1)^X désigne sans ambiguïté l'élément (–1)^x de ℤ/nℤ, où x est n’importe quel élément de X.

Donc, si a, b sont des éléments d'un groupe G tels que aⁿ = b² = 1, si i, k sont des éléments de ℤ/nℤ et j un élément de ℤ/2ℤ, on peut parler sans ambiguïté des éléments $a^i,a^k,a^{i+(-1{)}^{j}k},b^j$ de G.

a) (« Table de multiplication » d'un groupe diédral.) Soit n un nombre naturel non nul, soit G un groupe diédal d'ordre 2n. Soient a un élément d'ordre n de G et b un élément de G\⟨a⟩. On a vu au chapitre [[../../Groupes diédraux/]] que de tels éléments existent et que pour tous éléments a, b possédant ces propriétés, b est d'ordre 2, bab^–1 (autrement dit bab) est égal à a^–1 et {a, b} engendre G.

Prouver que (si l'on applique la convention de notation définie au début du problème)

tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon aⁱ b^j avec i ∈ ℤ/nℤ et j ∈ ℤ/2ℤ

et que si i et k sont des éléments de ℤ/nℤ, si j et l sont des éléments de ℤ/2ℤ alors

$(a^i{b}^j)(a^k{b}^l)=a^{i+(-1{)}^{j}k}{b}^{j+l}$.

(Noter que ceci illustre un fait déjà vu, à savoir que D_2n est isomorphe au produit semi-direct externe de ℤ/nℤ par ℤ/2ℤ relatif à l'opération ℤ/2ℤ × ℤ/nℤ → ℤ/nℤ : (j, k) ↦ (–1)^jk de ℤ/2ℤ sur ℤ/nℤ.) Modèle:Solution

b) Soit n un nombre naturel non nul, soient G et H deux groupes isomorphes à D_2n, soit a (resp. aModèle:') un élément d'ordre n de G (resp. de H), soit b (resp. bModèle:') un élément de G\⟨a⟩, (resp. de H\⟨aModèle:'⟩). Prouver qu’il existe un et un seul isomorphisme de G sur H qui applique a sur aModèle:' et b sur bModèle:'. Modèle:Solution

c) Soit n un nombre naturel non nul, soient G et H deux groupes isomorphes à D_2n, soit a (resp. aModèle:') un élément d'ordre n de G (resp. de H), soit b (resp. bModèle:') un élément de G\⟨a⟩, (resp. de H\⟨aModèle:'⟩). Prouver que pour tout élément i de ℤ/nℤ et tout élément j de (ℤ/nℤ)* (groupe multiplicatif des éléments inversibles de l'anneau ℤ/nℤ), il existe un et un seul isomorphisme de G sur H (dépendant de a et b) qui applique a sur ${a^{\prime }}^j$ et b sur ${a^{\prime }}^i{b}^{\prime }$. Modèle:Solution

d) Soit n un nombre naturel ≥ 3, soit D_2n le groupe diédral d'ordre 2n, soit a un élément d'ordre n de D_2n, soit b un élément de D_2n\⟨a⟩. Il résulte du point c) que pour tout élément i de ℤ/nℤ et tout élément j de (ℤ/nℤ)*, il existe un et un seul automorphisme de D_2n (dépendant de a et b) qui applique a sur a^j et b sur aⁱ b. Notons σ_i,j cet automorphisme. Prouver que (i, j) ↦ σ_i,j définit un isomorphisme de ℤ/nℤ ⋊ (ℤ/nℤ)* sur Aut(D_2n), où ℤ/nℤ ⋊ (ℤ/nℤ)* désigne le produit semi-direct externe de ℤ/nℤ par (ℤ/nℤ)* relatif à l'opération

(ℤ/nℤ)* × ℤ/nℤ → ℤ/nℤ : (j, x) ↦ j x

de (ℤ/nℤ)* sur ℤ/nℤ. Modèle:Solution

e) Soit n un nombre naturel ≥ 3. Pouver que Aut(D_2n) est isomorphe à Hol(ℤ/nℤ). Modèle:Solution