Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres : théorème de Howson

Problème 1

Dans un exercice de la série [[../Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier/]], on a vu que le dérivé d'un groupe libre de rang 2 est de rang infini. En déduire, à l'aide du théorème de Howson, que le dérivé d'un groupe libre de rang au moins égal à 2 est de rang infini.
(Indication. X étant un ensemble de cardinal $\ge 2$, choisir dans X une partie Y de cardinal 2 et appliquer le théorème de Howson à l'intersection

$F(Y)\cap F^{\prime }(X),$

où $F^{\prime }(X)$ désigne le dérivé de F(X).) Modèle:Clr Modèle:Solution