Théorie des groupes/Exercices/Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux

Problème 1

Si G est un groupe, désignons par G^l le sous-groupe de S_G formé par les translations gauches g^l : G → G : x ↦ gx, où g parcourt G. On sait que G^l est isomorphe à G. (Voir le chapitre [[../../Holomorphe d'un groupe|Holomorphe d'un groupe]].)
Soit G un groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre). Prouver que G^l est sous-groupe normal minimal de [[../../Holomorphe d'un groupe|l'holomorphe]] Hol(G) de G.

Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. Puisque G^l est isomorphe à G, l'énoncé prouve que tout groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre) peut être plongé dans un groupe dont il est sous-groupe normal minimal. C'est une réciproque au théorème, démontré dans le chapitre théorique, selon lequel tout sous-groupe normal minimal d'un groupe est un groupe caractéristiquement simple.

Problème 2

Soit G un groupe fini résoluble, soit M un sous-groupe maximal de G. Prouver que l'indice de M dans G est une puissance de nombre premier.
Indication : raisonner par récurrence sur l'ordre de G; choisir un sous-groupe normal minimal N de G et déduire du [[../../Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux/|chapitre théorique]] une propriété de $|N|$; puis, distinguer selon que M contient N ou ne le contient pas; s'il le contient, appliquer l'hypothèse de récurrence au groupe G/N.

Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. L'énoncé de cet exercice était connu de Galois.