Théorie des groupes/Exercices/Commutateurs, groupe dérivé

Problème 1

a) Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Prouver que tout conjugué de H dans G est contenu dans HD(G).

b) En déduire que tout sous-groupe de G qui contient D(G) est distingué dans G. (On l'a prouvé autrement dans le chapitre théorique.) Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 2

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G contenant tous les carrés d'éléments de G. Prouver que H contient le dérivé D(G) de G (et est donc normal dans G). Modèle:Solution

Problème 3

a) Soient $(G_i{)}_{i\in I}$ une famille finie de groupes, $(A_i{)}_{i\in I}$ et $(B_i{)}_{i\in I}$ deux familles telles que pour tout i, A_i et B_i soient des sous-groupes de G_i. Prouver que

$[\prod _{i\in I}{A}_i,\prod _{i\in I}{B}_i]=\prod _{i\in I}[A_i,B_i],$

où $\prod$ désigne le produit direct externe. En particulier, soient G₁ et G₂ deux groupes, A₁ et B₁ deux sous-groupes de G₁, A₂ et B₂ deux sous-groupes de G₂; alors [A₁ × A₂, B₁ × B₂] = [A₁, B₁] × [A₂, B₂]. Modèle:Clr Modèle:Solution

b) Soit $(G_i{)}_{i\in I}$ une famille finie de groupes. Prouver que

$D(\prod _{i\in I}{G}_i)=\prod _{i\in I}D(G_i),$

où, comme au point a), $\prod$ désigne le produit direct externe.
En particulier, si G₁ et G₂ sont deux groupes, D(G₁ × G₂) = D(G₁) × D(G₂).

c) Soit G un groupe, produit direct interne d'une famille finie $(G_i{)}_{i\in I}$ de sous-groupes. Prouver que D(G) est produit direct interne de la famille $(D(G_i){)}_{i\in I}$.

Problème 4

Dans le chapitre Groupes alternés, section Sous-groupes distingués des groupes alternés, on a considéré le sous-groupe V de A₄ formé par l'élément neutre et les trois éléments (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3) (et on a vu que V est un groupe de Klein). Prouver que V est le dérivé de A₄.

Problème 5

Le but de cet exerciceest de prouver que tout élément du groupe alterné A_n est un commutateur d'éléments de S_n.

a) Montrer qu'un élément de S_n est un commutateur d'éléments de S_n si et seulement si c’est le produit de deux permutations ayant la même structure cyclique.

b) Soit $\gamma \in S_n$ un cycle d'ordre impair. Prouver que $\gamma$ est le carré d'une permutation de même support que $\gamma$. Modèle:Clr Modèle:Solution

c) Soient $\alpha =(a_1{a}_2\dots a_{2r})$ et $\beta =(b_1{b}_2\dots b_{2s})$ deux cycles d'ordre pair à supports disjoints. Montrer que $\alpha \beta$ est le produit de deux cycles d'ordre r + s + 1 à supports contenus dans la réunion des supports de $\alpha$ et de $\beta$. (Indication : regarder la solution.)

d) Montrer que toute permutation paire $\sigma \in A_n$ peut s'écrire ${\lambda }_1{\mu }_1\dots {\lambda }_t{\mu }_t$, où pour chaque i, ${\lambda }_i$ et ${\mu }_i$ sont des cycles de même longueur et où, pour tous i et j distincts, $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\lambda }_i)\cup \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\mu }_i)$ et $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\lambda }_j)\cup \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\mu }_j)$ sont disjoints. (Rappel : supp désigne le support.) Modèle:Clr Modèle:Solution

e) Montrer que toute permutation paire $\sigma \in A_n$ est un commutateur d'éléments de S_n.

Problème 6

a) Soient N et A₁, .... , A_r des sous-groupes distingués d'un groupe G. Prouver que [N, A₁ .... A_r] = [N, A₁] .... [N, A_r]. (Indication : utiliser une des identités énoncées dans la section Compléments du chapitre théorique.)

b) Tirer du point a) une autre démonstration du fait suivant, qui a été démontré au problème 2 :
Si un groupe G est produit direct interne d'une famille G₁, ... , G_n de sous-groupes, D(G) est produit direct interne de la famille D(G₁), ... , D(G_n).

Problème 7

On va prouver que si H, K et L sont des sous-groupes d'un même groupe G, [ [H,K], L] n’est pas forcément égal au sous-groupe de G engendré par les éléments [ [h, k], l] avec h dans H, k dans K et l dans L.

a) Soient G un groupe, H, K et L des sous-groupes d'ordre 2 de G. Prouver que le sous-groupe de G engendré par les éléments [ [h, k], l] avec h dans H, k dans K et l dans L, est monogène. Modèle:Clr Modèle:Solution

b) Soit P un sous-groupe d'ordre 5 du groupe G = A₅, groupe alterné de degré 5. (Puisque A₅ est d'ordre 60, il admet de tels sous-groupes. Ce sont ses 5-sous-groupes de Sylow.) Prouver que N_G(P) est d'ordre 10 et contient exactement 5 sous-groupes d'ordre 2. Modèle:Clr Modèle:Solution

c) Soit P comme au point b) et soient H, K deux différents sous-groupes d'ordre 2 de N_G(P). (Il en existe d’après le point b).) Prouver que [H, K] = P. Modèle:Clr Modèle:Solution

d) Prouver que A₅ est engendré par ses éléments d'ordre 2. Modèle:Clr Modèle:Solution

e) Soit P comme au point b). Prouver qu’il existe au moins un sous-groupe d'ordre 2 de A₅ qui ne normalise pas P. Prouver que si L est un tel sous-groupe, alors <P, L> = A₅. Modèle:Clr Modèle:Solution

f) Soient P comme au point b) et L comme au point e). Prouver que [P, L] = A₅. Modèle:Clr Modèle:Solution

g) En conclure que si H, K et L sont comme aux points c) et e), [ [H,K], L] n’est pas égal au sous-groupe de G engendré par les éléments [ [h, k], l] avec h dans H, k dans K et l dans L. Modèle:Clr Modèle:Solution Remarques. 1° On pourrait évidemment poser P = <(1 2 3 4 5)>, H = <(1 5) (2, 4)>, K = <(1 2) (3 5)>, L = <(1 2) (3 4)> et vérifier par calcul que [ [H, K], L] = A₅, mais cette méthode serait sans gloire et assez fastidieuse.
2° On montre dans le problème suivant que si [H, K] normalise L, alors [ [H,K], L] est égal au sous-groupe de G engendré par les éléments [ [h, k], l] avec h dans H, k dans K et l dans L.

Problème 8

On va prouver que si G est un groupe et H, K, L des sous-groupes de G, si [H, K] normalise L, alors [ [H,K], L] est égal au sous-groupe de G engendré par les éléments [ [h, k], l] avec h dans H, k dans K et l dans L.

a) Soient G un groupe, A, B et H des sous-groupes de G. On suppose que B normalise A. Désignons par S l’ensemble des éléments x de B tels que, pour tout élément a de A, [a, x] appartienne à H. Prouver que S est un sous-groupe de B. (Indication : utiliser certaines des identités énoncées dans la partie Compléments du chapitre théorique.) Modèle:Clr Modèle:Solution

b) Soient G un groupe, A et B des sous-groupes de G et Y une partie génératrice de B. On suppose que B normalise A. Prouver que [A, B] est le sous-groupe de G engendré par les commutateurs [a, y] avec a dans A et y dans Y. (Indication : dans l'énoncé du point a), prendre pour H le sous-groupe de G engendré par les [a, y] en question.) Modèle:Clr Modèle:Solution

c) Soient G un groupe, H, K et L des sous-groupes de G. On suppose que [H, K] normalise L. Prouver que [ [H, K], L] est le sous-groupe de G engendré par les éléments [ [h, k], l] avec h dans H, k dans K et l dans L. Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 9

Soient G un groupe, A un sous-groupe normal de G et B un sous-groupe de G. Soit A₀ une partie de G telle que A soit contenu dans le sous-groupe de G engendré par A₀. Soit B₀ une partie de G telle que B soit contenu dans plus petit sous-groupe normal de G contenant B₀ (c'est le cas en particulier si B est contenu dans le sous-groupe de G engendré par B₀.) On se propose de prouver que [A, B] est contenu dans le plus petit sous-groupe normal de G comprenant les commutateurs [a₀, b₀] avec a₀ dans A₀ et b₀ dans B₀.

a) Soit N le plus petit sous-groupe normal de G comprenant les commutateurs [a₀, b₀] avec a₀ dans A₀ et b₀ dans B₀ (on pourrait se contenter de supposer que N est un sous-groupe normal de G comprenant ces commutateurs). Désignons par f l'homomorphisme canonique de G sur G/N. Prouver que f(B₀) est contenu dans le centralisateur de f(A) dans G/N. Modèle:Clr Modèle:Solution

b) Prouver que f(B) est contenu dans tout sous-groupe normal de G/N qui contient f(B₀). Modèle:Clr Modèle:Solution

c) Prouver que f(B) est contenu dans le centralisateur de f(A) dans G/N. Modèle:Clr Modèle:Solution

d) Déduire de c) que [A, B] est contenu dans N (ce qui démontre l'énoncé général du problème). Modèle:Clr Modèle:Solution

e) Soient G un groupe, A et B des sous-groupes normaux de G, soit A₀ une partie génératrice de A. Soit B₀ une partie de B telle que B soit le plus petit sous-groupe normal de G contenant B₀ (c'est le cas en particulier si B₀ est une partie génératrice de B). Prouver que [A, B] est le plus petit sous-groupe normal de G comprenant les commutateurs [a₀, b₀] avec a₀ dans A₀ et b₀ dans B₀.

Remarques.
1° En faisant A = B = G et A₀ = B₀ = X dans l'énoncé du point e), nous retrouvons le théorème suivant, qui a été démontré dans le chapitre théorique : si G est un groupe et X une partie génératrice de G, le dérivé de G est le sous-groupe normal de G engendré par les commutateurs [x, y], où x et y parcourent X.
2° Nous utiliserons l'énoncé e) de ce problème dans un exercice sur les groupes nilpotents.