Théorie des groupes/Exercices/Automorphismes d'un groupe cyclique

Problème 1

Soit G un groupe, soit n un nombre naturel non nul. Prouver que le nombre des éléments d'ordre n de G est égal à φ(n) fois le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre n de G. (La fonction φ est l'indicateur d'Euler, défini dans le chapitre théorique.)

Problème 2

a) Démontrer que si a et b sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, le groupe multiplicatif de l'anneau Z/abZ est isomorphe au produit direct du groupe multiplicatif de l'anneau Z/aZ par le groupe multiplicatif de l'anneau Z/bZ. (Indication : utiliser le théorème chinois, démontré dans les exercices de la série [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z|Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z]].) En déduire que si n est un nombre naturel ≥ 1, si p₁, ... , p_r sont les différents facteurs premiers de n, si $n=p_1^{e_1}\dots p_r^{e_r},$ alors le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est isomorphe au produit direct des groupes multiplicatifs des anneaux $\mathbb{Z}/p_i^{e_i}\mathbb{Z}.$ (Ceci détermine entièrement la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ, quel que soit le nombre naturel n ≥ 1, puisque, dans la partie théorique, nous avons déterminé la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/p^mZ pour tout nombre premier p et tout nombre naturel m ≥ 1.)

b) En déduire une nouvelle démonstration du fait que si a et b sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b).$

c) Pour quels nombres naturels n ≥ 1 le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est-il cyclique ? Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 3

a) Soit G un groupe cyclique, soient a et b deux éléments de G ayant le même ordre. Prouver qu'il existe un automorphisme de G qui applique a sur b. Modèle:Clr Modèle:Solution b) Soient G un groupe monogène et H un sous-groupe de G. Prouver que tout automorphisme de H s'étend en un automorphisme de G. Modèle:Clr Modèle:Solution