Théorie des groupes/Exercices/Action de groupe

Problème 1

Soit G un groupe opérant transitivement et fidèlement sur un ensemble X. Prouver que si G est commutatif, cette opération est simplement transitive. (Cet énoncé nous fournira une démonstration alternative d'un théorème sur les permutations cycliques.)

Problème 2. (Lemme dit de Burnside)

Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Pour tout élément g de G, désignons par F(g) le nombre des éléments de X fixés par g, c'est-à-dire le nombre des éléments x de X tels que gx = x.

a) Prouver le lemme dit de Burnside :

$\sum _{g\in G}F(g)=|\mathrm{\Omega }||G|$,

où Ω désigne l’ensemble des orbites. (Indication : combien de fois un élément x de X est-il compté dans la somme ?)

b) Soit G un groupe fini opérant transitivement sur un ensemble X d'au moins deux éléments. Déduire du point a) qu’il existe au moins un élément de G qui ne fixe aucun élément de X.

Problème 3

a) Soit G un groupe opérant à gauche sur un ensemble X, soient x et y deux points de X et g un élément de G tels que gx = y. Prouver que Stab(y) = g Stab(x) gModèle:Exp. (Ceci montre que si deux éléments de X appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs sont conjugués dans G.)

b) Soient G un groupe, x et a des éléments de G et H un sous-groupe de G. Déduire de a) une nouvelle démonstration des relations $C_G(a^{-1}xa)=a^{-1}{C}_G(x)a$ et $N_G(a^{-1}Ha)=a^{-1}{N}_G(H)a$ (démontrées dans les exercices de la série [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]]).

Problème 4

Soient G un groupe fini non trivial et p le plus petit diviseur premier de l’ordre de G. Prouver que si H est un sous-groupe d'indice p de G, c’est un sous-groupe normal de G. (Indication : faire opérer G par translation à gauche sur l’ensemble G/H de ses classes à gauche modulo H.) Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 5

Soit $G$ un groupe agissant (par exemple à gauche) sur un ensemble $E$ par $G\times E\to E:(g,x)\mapsto gx.$ Soit $H$ un sous-groupe de $G$; notons $E^H$ l'ensemble des points fixes de $H$, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de $E$ fixés par tout élément de $H.$ Prouver que pour tout élément $g$ de $N_G(H)$ et tout élément $y$ de $E^H$, $gy$ appartient à $E^H$ (de sorte que l'action $G\times E\to E:(g,x)\mapsto gx$ induit par restriction une action $N_G(H)\times E^H\to E^H$ de $N_G(H)$ sur $E^H$).

Modèle:Solution Remarque. Nous reviendrons à cette action de $N_G(H)$ sur $E^H$ dans un [[../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/|exercice sur le chapitre Transfert, théorème du complément normal de Burnside]].

Problème 6

Utiliser le lien entre orbite et stabilisateur pour résoudre les deux questions suivantes.

1. Un groupe d'ordre 35 opère sur un ensemble de 19 éléments en ne laissant fixe aucun d'eux. Combien y a-t-il d'orbites ?
2. Un groupe d'ordre 143 = 11×13 opère sur un ensemble de 108 éléments. Montrer qu'il existe un point fixe.

Problème 7

Utiliser le lien entre orbite et stabilisateur pour déterminer les ordres du groupe des rotations du cube et de celui du tétraèdre régulier. Même question pour leurs groupes d'isométries. Modèle:Solution

Problème 8

1. Faire l'inventaire des rotations du cube, sachant qu'il y en a 24 (en comptant l'identité).
2. En déduire que ce groupe est isomorphe à SModèle:Ind.
3. À l'aide du lemme « de Burnside » Modèle:Supra, déterminer le nombre de façons de colorer les faces d'un cube à rotation près, avec au plus 3 couleurs à sa disposition.

Problème 9

Soient G un groupe, H un sous-groupe et A un ensemble muni d'une action à droite de H. On considère l'action à droite de H sur A×G définie par

$(a,g)h=(ah,h^{-1}g)$

et l'on note $A{\otimes }_{H}G$ l'ensemble des orbites de cette action.

1. Expliciter l'action naturelle (à droite) de G sur $A{\otimes }_{H}G$.
2. Soit T une [[../../Classes modulo un sous-groupe#Indice d'un sous-groupe|transversale à droite]] de H dans G. Pour tout $g\in G$, on note $\overline{g}$ le représentant de Hg dans T. Démontrer que l'application

   $\phi :A\times (G/H)\to A{\otimes }_{H}G,(a,Hg)\mapsto a\otimes \overline{g}$

   est bijective (on explicitera la bijection réciproque).

3. Déterminer l'action de G sur A×(G/H) transportée (par cette bijection) de l'action sur $A{\otimes }_{H}G$.
4. En supposant T contient l'élément neutre 1 de G, quelle est l'action de H sur A×{H} obtenue par restriction ?

Problème 10

Soit G un groupe d'ordre 60 qui a pour équation aux classes (pour l'action par conjugaison de G sur lui-même)

$60=1+15+20+12+12$.

Montrer que G est simple, en considérant les équations aux classes possibles pour ses sous-groupes normaux. Modèle:Solution Remarque : [[../Premiers résultats sur les groupes simples|le groupe alterné AModèle:Ind est donc le seul]] groupe d'ordre 60 ayant cette équation aux classes.

Problème 11

Décomposer l'ensemble ${\mathrm{M}}_n(K)$ des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients dans un corps $K$ en orbites pour les opérations suivantes de ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(K)$ :

1. multiplication à gauche ;
2. multiplication à droite ;
3. conjugaison.

Problème 12

En méditant sur le théorème de Cayley, démontrer que tout groupe fini G se plonge dans un groupe où tous les éléments de G de même ordre deviennent conjugués. Modèle:Solution

Problème 13

1. Dénombrer le nombre de $n$ cycles de ${𝔖}_n$ en utilisant une action de groupe.
2. Utiliser le même raisonnement pour dénombrer le nombre de $k$ cycles de ${𝔖}_n$.