Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence avril 1997

Il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements et de la présentation.

Soit G un groupe multiplicatif dont la loi est dénotée par juxtaposition et dont l'élément neutre est e. Dans tout le problème, p désignera un nombre premier impair.

ɪ Étude des groupes d'ordre 2p (p premier impair) (15 points)

1 ) Soit n ∈ ℕ^* et A un groupe d'ordre 2n.

a) Montrer que tout sous-groupe dans A qui est d'ordre n est distingué de A.

b) Soit U = {x ∈ A|x² = e} et V = {x ∈ A|x² ≠ e}. Montrer que V contient un nombre pair d'éléments. En déduire que A contient au moins un élément d'ordre 2.

Dans toute la suite de la partie I, G désigne un groupe d'ordre 2p.

2 ) a) Quels sont les ordres possibles des éléments de G ?

b) On suppose que tout élémet x de G vérifie x² = e. Montrer que G est commutatif.

c) Soit x,y ∈ G-{e} avec x ≠ y. Montrer que le sous-groupe 〈x,y〉 engendré par x et y serait d'ordre 4.

d) En déduire qu'un groupe d'ordre 2p contient toujours un élément d'ordre p.

On sait donc maintenant qu'un groupe d'ordre 2p contient toujours un élément a d'ordre 2, et un élément u d'ordre p. Soit H le sous-groupe 〈u〉 de G engendré par l'élément u.

3 ) a) Quel est l'indice [G:H] de H dans G? Déduire que H est distingué dans G.

Soit Φ_a, l'automorphisme intérieur associé à a. Quels sont les deux ordres possibles de Φ_a dans Aut G ?

b) Montrer qu’il existe un entier i avec 1 ≤ i ≤ p - 1 tel que aua^-1 = Φ_a(u) = uⁱ.

c) Montrer, en calculant de deux façons différentes Φ_a(Φ_a(u)), que i² - 1 ≡ 0 (mod p). En déduire que i ∈ {1,1-p}.

d) Montrer que G est abélien si et seulement si i = 1. Quand i = 1, montrer que G contient un élément d'ordre 2p, et que G ≅ ℤ₂✕ℤ_p.

4 ) On suppose maintenant que G n’est pas abélien ( et donc i = p - 1).

a) Montrer que au = u^-1a, puis que pour tout k ∈ ℕ^*, au^k = u^-ka.

b) Montrer que tout élément g de G s'écrit de manière unique g = uⁱaⁱ, avec 0 ≤ i ≤ p-1, 0 ≤ j ≤ 1. En déduire que la table de multiplication de G est imposée et donc tous les groupes non abéliens d'ordre 2p sont isomorphes.

ɪɪ Construction d'un groupe non abélien d'ordre 2p (7 points)

5 ) soit E le sous-ensemble de G, E = {xyx^-1y^-1 | x, k ∈ G}. Soit H un sous-groupe distingué de G. Si x ∈ G, on notera $\overline{x}$ sa classe modulo H.

Montrer que le groupe quotient G/H est commutatif si et seulement si E ⊂ H.

6 ) Soit Γ l’ensemble des matrices 2 ✕ 2 de la forme $\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& ϵ\end{array}\right)$ où ε ∈ {1,-1} et a ∈ ℤ.

a) Montrer que Γ est un sous-groupe de GL(2,ℝ).

b) On pose :

$H=\{\left(\begin{array}{cc}1& px\\ 0& 1\end{array}\right)\mid x\in \mathbb{Z}\}$

Montrer que H est un sous-groupe distingué de Γ.

c) On pose α = $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$, β = $\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Calculer αβα^-1β^-1 et en déduire que Λ = Γ/H n’est pas commutatif.

d) Soit :

$X=\{\left(\begin{array}{cc}1& i\\ 0& (-1{)}^j\end{array}\right)\mid 0⩽i⩽p-1,0⩽j⩽1\}$

Montrer que tout élément de Γ est congru à un unique élément de X modulo H. En déduire l’ordre de Λ.

ɪɪɪ Classification des groupes d'ordre 2p (2 points)

Combien y a-t-il à isomorphisme près de groupes d'ordre 2p ?

Donnez un exemple dans chaque classe d'isomorphisme.

Modèle:Corrigé