Théorie des groupes/Automorphismes d'un groupe cyclique
Rappelons que nous avons défini les anneaux Z et Z/nZ au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1|Groupes commutatifs finis, 1]]. Modèle:Clr Modèle:Théorème Modèle:Démonstration
Modèle:Théorème Modèle:Démonstration
Nous appellerons groupe multiplicatif d'un anneau le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de cet anneau.
Modèle:Théorème Modèle:Démonstration
Modèle:Corollaire Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Corollaire Modèle:Démonstration déroulante
Nous allons maintenant expliciter la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ, ce qui explicitera en même temps la structure du groupe des automorphismes des groupes monogènes. Si n = 0, l'anneau Z/nZ est isomorphe à Z, donc son groupe multiplicatif est formé des deux éléments 1 et - 1. Le cas n = 0 étant réglé, nous ne nous intéresserons plus qu'au cas n ≥ 1. On sait que dans ce cas, Z/nZ est fini et compte n éléments.
Modèle:Proposition Modèle:Démonstration
D'après la proposition précédente, est égal à la quantité des nombres premiers avec n parmi 0, 1, ... , n -1.
Par exemple, et pour tout nombre premier p.
Modèle:Proposition Modèle:Démonstration
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Modèle:Lemme Modèle:Démonstration
Modèle:Proposition Modèle:Démonstration
Modèle:Lemme Modèle:Démonstration Modèle:Ancre Modèle:Proposition Modèle:Démonstration
Modèle:Ancre Modèle:Lemme Modèle:Démonstration Modèle:Ancre Modèle:Lemme Modèle:Démonstration
Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante
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Modèle:Corollaire Démonstration. Le groupe G est isomorphe au groupe additif Z/pZ, donc le groupe des automorphismes de G est isomorphe au groupe des automorphismes du groupe additif Z/pZ, donc, d’après un théorème précédent, au groupe multiplicatif de Z/pZ, et nous venons de voir que ce groupe multiplicatif est cyclique.
Dans la suite, nous allons distinguer entre le nombre 2 et les autres nombres premiers. Comme les nombres premiers distincts de 2 sont exactement les nombres premiers impairs et que « nombre premier impair » est plus bref que « nombre premier distinct de 2 », on a coutume de dire « nombre premier impair » plutôt que « nombre premier distinct de 2 ».
Modèle:Théorème Modèle:Démonstration
Modèle:Théorème Modèle:Démonstration
On déterminera dans les exercices la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ pour tout nombre naturel n ≥ 1.