Théorie de la mesure/Exercices/Mesures

Exercice 2-1

Modèle:Wikipédia Soient $ℰ$ une algèbre d'ensembles et $m:𝒜\to [0,+\mathrm{\infty }[$ une application.

1. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes, en prouvant les implications $(P1)\Rightarrow (P2)\Rightarrow (P3)\Rightarrow (P1)$.
   • (P1) $\mathrm{\forall }A,B\in 𝒜(A\cap B=\varnothing \Rightarrow m(A\cup B)=m(A)+m(B))$ ;
   • (P2) $m(\varnothing )=0$ et $\mathrm{\forall }A,B\in 𝒜m(A\cup B)+m(A\cap B)=m(A)+m(B)$ ;
   • (P3) $\mathrm{\forall }A,B\in 𝒜m(A\mathrm{\Delta }B)+m(A\cap B)=m(A\cup B)$.

   Si l'une de ces trois propriétés est vérifiée, elles le sont donc toutes ; $m$ est alors dite additive.

2. On suppose $m$ additive. Montrer que :
   1. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }{A}_0,\dots ,A_n\in 𝒜$ disjoints, $m(\underset{k=0}{\overset{n}{\cup }}{A}_k)=\sum _{k=0}^{n}m(A_k)$ ;
   2. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }{A}_0,\dots ,A_n\in 𝒜m(\underset{k=0}{\overset{n}{\cup }}{A}_k)\le \sum _{k=0}^{n}m(A_k)$ ;
   3. $m$ est croissante, c'est-à-dire $\mathrm{\forall }A,B\in 𝒜A\subset B\Rightarrow m(A)\le m(B)$ ;
   4. $\mathrm{\forall }{A}_n\in 𝒜(n\in \mathbb{N})$ disjoints tels que $A:={\cup }_{n\in \mathbb{N}}{A}_n\in 𝒜$, $m(A)\ge \sum _{n\in \mathbb{N}}m(A_n)$.
3. Comparer 2.1, 2.2 et 2.4.

Exercice 2-2

Soient $X$ un ensemble infini et $𝒜$ l'algèbre de ses parties finies ou cofinies.

1. Montrer que la fonction $m:𝒜\to {ℝ}_{+}$ définie par $m(A)=0$ si $A$ est fini et $m(A)=1$ si $A$ est cofini est additive.
2. Si $X$ est dénombrable, montrer qu'il existe des $A_n\in 𝒜$ disjoints, d'union $X$, tels que $m(X)>\sum _{n\in \mathbb{N}}m(A_n)$.
3. Condition nécessaire et suffisante pour que $m$ s'étende en une mesure sur $\sigma (𝒜\mathcal{)}$ ?

Exercice 2-3

Modèle:WikipédiaModèle:Wikipédia On admettra que pour toute fonction $F:ℝ\to ℝ$ croissante et continue à droite, il existe une mesure (unique) ${\mu }_F$ sur $ℬ(ℝ)$, appelée mesure de Stieltjes associée à $F$, telle que pour tous réels $a<b$, ${\mu }_F(]a,b])=F(b)-F(a)$.

1. Soit $\mu ={\mu }_{\arctan }$. Calculer $\mu (]-1,1])$, $\mu (]0,1])$, $\mu ([0,1])$, $\mu (]-1,\sqrt{3}])$, $\mu (]0,1])$ pour tous réels $a<b$, et enfin $\mu (ℝ)$.
2. Même question pour les fonctions $F_1(x)=x+F(x)$ et $F_2={\mathrm{𝟏}}_{{ℝ}^{+}}+F$.
3. Soit $\mu$ une mesure sur $ℬ(ℝ)$ telle que pour tout $n\in \mathbb{Z}$, $\mu (\{n\})=1$ et $\mu (]n,n+1])=1$. Montrer que $\mu$ est une mesure de Stietjes et déterminer une fonction $F$ telle que $\mu ={\mu }_F$.

Exercice 2-4

Modèle:Wikipédia Soient $X$ un espace topologique et $\mu$ une mesure sur sa tribu borélienne $ℬ$. On note $𝒞$ l'ensemble des parties $A$ de $X$ telles que

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }O$ ouvert et $\mathrm{\exists }F$ fermé tels que $F\subset A\subset O$ et $\mu (O\setminus F)\le \epsilon$.

1. Vérifier que $𝒞$ est stable par complémentaire.
2. Si $\mu$ est bornée, montrer que $𝒞$ est stable par réunion dénombrable (on pourra vérifier que ${\cup }_{n\in \mathbb{N}}{O}_n\setminus ({\cup }_{n\in \mathbb{N}}{F}_n)\subset {\cup }_{n\in \mathbb{N}}(O_n\setminus F_n)$ et faire en sorte que $\mu (O_n\setminus F_n)\le {\epsilon }_n$ avec $\sum _{n\in \mathbb{N}}{\epsilon }_n<\epsilon$).
3. Si $X$ est métrisable et si $\mu$ est bornée, montrer que tout fermé $F$ appartient à $𝒞$ et en déduire que $ℬ\mathcal{\subset }𝒞$ (on posera $O_n={\cup }_{x\in F}B(x,1/n)$ et l'on vérifiera que ${\cap }_{n\in {\mathbb{N}}^{\star }}{O}_n=F$).
4. Étendre ce résultat au cas où $X$ est métrisable et $\mu$ bornée sur toute boule (c'est vrai pour toute mesure de Stieltjes). (Pour un borélien $B$, on fixera $x\in X$ et $X_n:=B(x,n)$, on appliquera ce qui précède à ${\mu }_n:={\mu }_{|X_n}$ et $B_n:=B\cap X_n\setminus X_{n+1}$, et l'on vérifiera que si les $F_n\subset X_{n+1}^c$ sont des fermés alors leur réunion aussi.)
5. En déduire qu'alors, pour tout $A\in ℬ$,

   $\mu (A)=\sup \{\mu (F)\mid F\subset A,F\text{ fermé}\}=\inf \{\mu (O)\mid A\subset O,O\text{ ouvert}\}$.

Exercice 2-5

Modèle:Wikipédia Soient $X$ un espace topologique, $𝒪$ l'ensemble de ses ouverts, $ℱ$ l'ensemble de ses fermés, $𝒦$ l'ensemble de ses compacts, $𝒯$ une tribu sur $X$ contenant la tribu borélienne $ℬ$, $\mu$ une Modèle:W sur $𝒯$ vérifiant :

$\mathrm{\forall }A\in 𝒯\mu (A)=\underset{O\in 𝒪,A\subset O}{\inf }\mu (O)$.

On note ${𝒢}_{\delta }$ l'ensemble des intersections dénombrables d'ouverts et ${ℱ}_{\sigma }$ l'ensemble des réunions dénombrables de fermés.

1. Soient $A\in 𝒯$ et $\epsilon >0$. Montrer qu'il existe un ouvert $O\supset A$ tel que $\mu (O\setminus A)\le \epsilon$. En déduire qu'il existe un fermé $F\subset A$ tel que $\mu (A\setminus F)\le \epsilon$ (donc $\mu$ vérifie la régularité de l'exercice précédent).
2. En déduire que $\mathrm{\forall }A\in 𝒯\mathrm{\exists }F\in {ℱ}_{\sigma }\mathrm{\exists }G\in {𝒢}_{\delta }$ tels que $F\subset A\subset G$ et $\mu (G\setminus F)=0$. En déduire que $𝒯\subset \overline{ℬ}$ (la tribu complétée de $ℬ$ pour $\mu$).
3. On suppose de plus que $X$ est réunion dénombrable de compacts et que $X$ est séparé. Prouver alors que $\mu$ est intérieurement régulière, c'est-à-dire $\mathrm{\forall }A\in 𝒯\mu (A)=\underset{K\in 𝒦,K\subset A}{\sup }\mu (K)$.

Exercice 2-6

Modèle:Wikipédia Les deux affirmations suivantes sont-elles équivalentes ?

• (1) $f_n\to f$ $\mu$-Modèle:W ;
• (2) $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mu [|f_n-f|>\epsilon ]{\to }_{n\to +\mathrm{\infty }}0$.