Théorie de la mesure/Exercices/Intégrales

Exercice 3-1

Soit $(\mathrm{\Omega },𝒯,\mu )$ un espace mesuré et $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite monotone d'applications $\mu$-intégrables de $\mathrm{\Omega }$ dans $ℝ$, de limite simple $f$ (à valeurs dans $\overline{ℝ}$). Démontrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

• $(a)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\int |f-f_n|d\mu =0$ ;
• $(b)f$ est $\mu$-intégrable ;
• $(c)\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }|\int f_{n}d\mu |<+\mathrm{\infty }$ ;
• $(d)\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\int |f_n|d\mu <+\mathrm{\infty }$.

Exercice 3-2

Modèle:Wikipédia Soit $(X,𝒯,\mu )$ un espace mesuré.

1. Soient $A,B\in 𝒯$. Examiner le lemme de Fatou sur l'exemple suivant : $f_{2n}={\mathrm{𝟏}}_A$, $f_{2n+1}={\mathrm{𝟏}}_B$. Modèle:Solution

2. Soient $f_n:X\to [0,+\mathrm{\infty }]$ mesurables telles que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\int f_n\mathrm{d}\mu <+\mathrm{\infty }$.

On pose $A=[\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n=+\mathrm{\infty }]$. Montrer que $A\in 𝒯$ et calculer $\mu (A)$. Modèle:Solution

3. Soit $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $𝒯$ tels que $\mu (\mathrm{lim\; sup}{A}_n)=0$. Soit $f$ une fonction $\mu$-intégrable. Montrer que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A_n}{\int }|f|\mathrm{d}\mu =0$. Indication (Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C#Exercice 8) : pour tous réels positifs $a_n$, si $\mathrm{lim\; sup}{a}_n=0$ alors $\lim a_n=0$. Modèle:Solution

Exercice 3-2

Modèle:Wikipédia En utilisant le théorème de convergence dominée, montrer que

$\mathrm{\forall }a\in ℂ\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{a}{n})}^n=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{a^k}{k!}$.

Exercice 3-3

Modèle:Wikipédia Soient $\mu$ une mesure sur $ℝ$, de Radon (c'est-à-dire finie sur tout compact) et diffuse (c'est-à-dire sans atomes), et $f$ une fonction bornée sur $]a,b]$.

Montrer que si $f$ est Stieltjes $\mu$-intégrable alors elle est continue $\mu$-Modèle:W.

Indication : utiliser l'oscillation de $f$ en $x$, $\omega (x):=\underset{\epsilon >0}{\inf }\omega (]x-\epsilon ,x+\epsilon [)$, où $\omega (I):=\sup f(I)-\inf f(I)$, et les ensembles $E_n:=[\omega >1/n]$. Modèle:Solution

Exercice 3-4

Modèle:Wikipédia Soient $\mathrm{\Omega }={]-1,1[}^2$ et $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ définie par $f(x,y):=\{\begin{array}{cc}\frac{xy}{(x^2+y^2{)}^2}& \text{ si }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{ si }(x,y)=(0,0).\end{array}$

1. Prouver que $f$ est borélienne et calculer les intégrales $I:=\underset{]-1,1[}{\int }(\underset{]-1,1[}{\int }f(x,y)\mathrm{d}\lambda (x))\mathrm{d}\lambda (y)$ et $J:=\underset{]-1,1[}{\int }(\underset{]-1,1[}{\int }f(x,y)\mathrm{d}\lambda (y))\mathrm{d}\lambda (x)$.
2. $f$ est-elle ${\lambda }_2$-intégrable sur $\mathrm{\Omega }$ ?

Exercice 3-5

Modèle:Wikipédia Soient $p,q,r\in [1,+\mathrm{\infty }]$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1+\frac{1}{r}$ (ce qui implique $p,q\le r$). Soient $C$ une constante et $N$ mesurable de ${ℝ}^n\times {ℝ}^n$ dans $ℝ$, telles que les applications $x\mapsto N(x,y)$ (pour ${\lambda }_n$ presque tout $y$) et $y\mapsto N(x,y)$ (pour ${\lambda }_n$-presque tout $x$) appartiennent à $L^p({\lambda }_n)$ et aient une norme $\le C$. On veut montrer que la formule $(Pg)(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }N(x,y)g(y)\mathrm{d}{\lambda }_n(y)$ définit une application (évidemment linéaire) $P:g\mapsto Pg$ de $L^q({\lambda }_n)$ dans $L^r({\lambda }_n)$, et que $P$ est continue, de norme $\le C$.

1. Traiter le cas $r=+\mathrm{\infty }$.
2. On suppose $r<\mathrm{\infty }$. Soit $g\in L^q({\lambda }_n)$. Pour $y$ fixé on pose $h(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }|N(x,y)g(y)|\mathrm{d}{\lambda }_n(y)\in [0,+\mathrm{\infty }]$. Démontrer que $h(x{)}^r\le C^{r-p}\Vert g{\Vert }_q^{r-q}\underset{{ℝ}^n}{\int }|N(x,y){|}^p|g(y){|}^q\mathrm{d}{\lambda }_n(y)$.
   (Indication : appliquer l'inégalité de Hölder généralisée pour $g_1(y)=|N(x,y){|}^{p(\frac{1}{p}-\frac{1}{r})}$, $g_2(y)=|g(y){|}^{q(\frac{1}{q}-\frac{1}{r})}$, $g_3(y)=|N(x,y){|}^{p/r}|g(y){|}^{q/r}$, $p_1=\frac{pr}{r-p},p_2=\frac{qr}{r-q},p_3=r$).
   En déduire que $\Vert h{\Vert }_r\le C\Vert g{\Vert }_q$ et conclure.
3. Dans le cas particulier $r=+\mathrm{\infty }$, si $x\mapsto N(x,y)$ est continue (de ${ℝ}^n$ dans $L^p$), montrer que pour tout $g\in L^q,Pg$ est continue.
4. On pose $T_{x}f(t):=f(x+t)$ et pour $f\in L^p$, $Tf:{ℝ}^n\to L^p,x\mapsto T_{x}f$. Vérifier que $Tf$ est bornée. Déduire alors des questions 1 et 2 que la formule $(f\ast g)(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x-y)g(y)\mathrm{d}{\lambda }_n(y)$ définit une application bilinéaire continue $\ast :L^p({\lambda }_n)\times L^q({\lambda }_n)\to L^r({\lambda }_n)$, de norme $\le 1$ (Modèle:W), puis vérifier que $f\star g=g\star f$.
5. Montrer que si $f\in L^p$ avec $p<+\mathrm{\infty }$ alors $Tf$ est (uniformément) continue (on se ramènera par translation à la continuité en $0$, puis on procèdera par densité dans $L^p$, en supposant d'abord $f$ continue à support compact). Déduire alors de la question 3 que si $r=+\mathrm{\infty }$ alors ($\mathrm{\forall }g\in L^q$) $f\star g$ est continue.
6. Si $r=+\mathrm{\infty }$ (et $f\in L^p,g\in L^q$), montrer que si $p,q<+\mathrm{\infty }$ alors $f\ast g$ est (non seulement continue et bornée mais) nulle à l'infini. (On approximera $f$ et $g$ par des fonctions à support borné).
7. Soit $\mu$ une mesure bornée sur ${ℝ}^n$. Généraliser le cas $q=1$ de la question 4 pour définir une application linéaire continue $\ast \mu :L^p({\lambda }_n)\to L^p({\lambda }_n)$.

Exercice 3-6

(Généralisation de la formule d'intégration par parties)

Soient $I=]a,b[$ un intervalle ouvert de $ℝ$ et $\mu$ une Modèle:W sur la tribu borélienne ${ℬ}_I$ (par exemple, une Modèle:W). $f$ et $g$ désignent des applications $\mu$-intégrables de $I$ dans $ℝ$ ; on pose pour tout $x\in [a,b]$,

$F(x)=\underset{]a,x[}{\int }f(t)\mathrm{d}\mu (t)\text{et}G(x)=\underset{]a,x[}{\int }g(t)\mathrm{d}\mu (t)$.

1. Montrer que pour tout $x\in I,\underset{y\to x^{+}}{\lim }F(y)$ existe ; elle est notée $F_{+}(x)$.
2. Soit $D=\{(x,y)\in I^2\mid x\le y\}$ et pour $(x,y)\in I^2,h(x,y)=f(x)g(y){\chi }_D(x,y)$. Montrer que $h$ est borélienne et $\mu \otimes \mu$-intégrable.
3. A l'aide du théorème de Fubini, démontrer que $fG$ et $F_{+}g$ sont $\mu$-intégrables et que $\underset{I}{\int }fG\mathrm{d}\mu =F(b)G(b)-\underset{I}{\int }{F}_{+}g\mathrm{d}\mu$.

Exercice 3-7

Soient $(\mathrm{\Omega },𝒯,\mu )$ un espace mesuré, $f:\mathrm{\Omega }\to [0,+\mathrm{\infty }]$ mesurable et $p\in ]0,+\mathrm{\infty }[$. On rappelle que si $\mu$ est sigma-finie, $\int f^p\mathrm{d}\mu =\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}p{t}^{p-1}\mu ([f>t])\mathrm{d}t$. Montrer que si $f\in {ℒ}^p$ alors $\mu ([f>t])=O(1/t^p)$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$. Étudier la réciproque. Modèle:Solution

Exercice 3-8

Soient $(\mathrm{\Omega },𝒯,\mu )$ un espace mesuré, $p\in [1,+\mathrm{\infty }[$ et $f_n,f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ mesurables. On suppose que $f_n\to f$ en mesure et qu'il existe $g\in {ℒ}^p(\mu )$ telle que $\mathrm{\forall }n|f_n|\le g$. Prouver qu'alors $f_n\to f$ dans ${ℒ}^p$. Modèle:Solution

Exercice 3-9

Soient $p\in ]1,+\mathrm{\infty }[$ et $(\mathrm{\Omega },𝒯,\mu )$ un espace mesuré sigma-fini. Soient $f,g\in {ℒ}^p(ℝ)$, montrer que $\Vert |f{|}^p-|g{|}^p{\Vert }_1\le p(\Vert f{\Vert }_p^{p-1}+\Vert g{\Vert }_p^{p-1})\Vert f-g{\Vert }_p$ et en déduire que $f\to |f{|}^p$ est continue de ${ℒ}^p$ dans ${ℒ}^1$. Modèle:Solution