Série numérique/Exercices/Nature de séries

Exercice 1

Soient $a\in ]0,+\mathrm{\infty }[$ et $\alpha \in ℝ$. Étudier la nature des séries de terme général :

1. $u_n:=\frac{a^{(-1{)}^n}}{n}$ ;
2. $v_n:=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{n^{\alpha }}& \text{ si }n\text{ est un carré parfait,}\\ \frac{1}{n^{\beta }}& \text{ sinon.}\end{array}$

Exercice 2

Étudier la nature des séries de terme général :

1. $u_n:=n\ln (1+\frac{1}{n})-\frac{2n}{2n+1}$ ;
2. $v_n:=n\ln (1+\frac{1}{n})-\cos \frac{1}{\sqrt{n}}$.

Exercice 3

Soient $a\in ]0,+\mathrm{\infty }[$ et $\alpha ,\beta \in ℝ$. Étudier la nature des séries de terme général :

1. $x_n:=\frac{a^{t_n}}{n^{\alpha }}$ où $(t_n)$ est une suite réelle telle que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{t_n}{\ln n}=+\mathrm{\infty }$ ;
2. $y_n:=\frac{1}{n^{\alpha }{\ln }^{\beta }(n!)}$ (on pourra utiliser [[../../Théorème de Stolz-Cesàro#Exemples|l'équivalent ln(n!) ~ n ln(n)]], ou se contenter de l'encadrement $n^{n/2}\le n!\le n^n$) ;
3. $z_n:={\left(\frac{an+\alpha }{n+\beta }\right)}^n$ ;
4. $u_n:=\cos (n\pi )\sin \frac{\ln n}{n\sqrt{n}}$ ;
5. $w_n:={(n\sin \frac{1}{n})}^{n^{\alpha }}$ ;

Exercice 4

Soit $(a_n)$ une suite réelle positive décroissante. On pose $S=\sum _{n\ge 1}{a}_n$ et $T=\sum _{k\ge 0}{2}^k{a}_{2^k}$. Montrer que $S\le T\le 2S$ (ce qui prouvera que $S<+\mathrm{\infty }$ si et seulement si $T<+\mathrm{\infty }$). Modèle:Solution

Exercice 5

Nature de la série de terme général $u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{(n+k{)}^p}$, selon les valeurs du réel $p$ ? Modèle:Solution

Exercice 6

Soit $\sum u_n$ une série à termes strictement positifs. Montrer que :

1. (Règle de Kummer)
   1. $\sum u_n$ converge si et seulement s'il existe une suite positive $\left(k_n\right)$ et une constante $\delta >0$ telles qu'à partir d'un certain rang, $k_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-k_{n+1}\ge \delta$ ;
   2. $\sum u_n$ diverge si et seulement s'il existe une suite $\left(k_n\right)$ strictement positive telle que $\sum 1/k_n=+\mathrm{\infty }$ et telle qu'à partir d'un certain rang, $k_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-k_{n+1}\le 0$ ;
2. (Règle de Raabe-Duhamel)
   1. s'il existe $b>1$ tel que (à partir d'un certain rang) $\frac{u_{n+1}}{u_n}\le 1-\frac{b}{n}$, alors $\sum u_n$ converge ;
   2. si (à partir d'un certain rang) $\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1-\frac{1}{n}$, alors $\sum u_n$ diverge.
3. (Règle de Bertrand)
   1. s'il existe $b>1$ tel que (à partir d'un certain rang) $\frac{u_n}{u_{n+1}}\ge 1+\frac{1}{n}+\frac{b}{n\ln n}$, alors $\sum u_n$ converge ;
   2. si (à partir d'un certain rang) $\frac{u_n}{u_{n+1}}\le 1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n\ln n}$, alors $\sum u_n$ diverge.

Exercice 7

Soit $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle définie par ses deux premiers termes et par une récurrence linéaire d'ordre 2 :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{x}_{n+2}=a{x}_{n+1}+b{x}_n$. On suppose $x_0\ge 0$, $x_1>0$, $a\ge 1$ et $b>0$.

1. Démontrer, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, que $0<x_n\le x_{n+1}$ puis $x_{n+2}\ge (a+b)x_n$.
2. En déduire que $\sum \frac{1}{x_n}$ converge.

Exercice 8

Soit $(a_n)$ une suite complexe. On suppose qu'il existe une suite réelle positive $(b_n)$ telle que

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}|a_n|\le b_n-b_{n+1}$.

Montrer qu'alors, $\sum a_n$ est absolument convergente. Modèle:Solution

Exercice 9

1. Soit $\sum x_n$ une série absolument convergente. Montrer que pour tout réel $\lambda$, $\sum \frac{x_n}{1+\lambda x_n}$ est absolument convergente. Modèle:Solution 2. Soient $u_n\ge 0$ et $v_n=\frac{u_n}{1+u_n}$. Montrer que les deux séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature. Modèle:Solution

Exercice 10

Soit $\sum u_n$ une série convergente à termes positifs. Montrer que pour tout réel $\alpha >1$, $\sum u_n^{\alpha }$ converge. Modèle:Solution

Exercice 11

Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries convergentes à termes positifs. Montrer que $\sum \sqrt{u_n{v}_n}$ converge. Modèle:Solution Soit maintenant $v_n=\frac{1}{n}$. Trouver une série $\sum u_n$ convergente à termes positifs telle que $\sum \sqrt{u_n{v}_n}$ diverge. Modèle:Solution

Exercice 12

Soit $(a_n)$ une suite de réels. Notons $a_n^{+}=\max (a_n,0)$ et $a_n^{-}=-\min (a_n,0)$. Montrer que :

1. $\sum a_n$ est absolument convergente si et seulement si $\sum a_n^{+}$ et $\sum a_n^{-}$ convergent ;
2. si $\sum a_n$ est seulement semi-convergente, alors $\sum a_n^{+}$ et $\sum a_n^{-}$ divergent.