Approfondissement sur les suites numériques/Récurrence affine d'ordre 2

Modèle:Chapitre Modèle:Clr On étudie les suites récurrentes affines d'ordre 2 à valeurs dans un corps commutatif K, en s'intéressant en particulier aux cas où le corps est celui des réels ou des complexes.

Cas linéaire

On cherche l’ensemble ${𝒮}_0$ des suites vérifiant la relation de récurrence linéaire $u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n$.

On considère le polynôme du second degré :

$P\left(X\right)=X^2-aX-b$.

Supposons que ce polynôme admet deux racines $r_1,r_2\in K$ — si $K=ℂ$, c'est toujours le cas. On peut donc écrire :

$P\left(X\right)=(X-r_1)(X-r_2)$.

Le cas $r_1=r_2$ est celui où P admet une racine double, c'est-à-dire où $r_1$ est également racine de la dérivée de P :

$P^{\prime }\left(X\right)=2X-a$.

Cas affine

On note $𝒮$ l’ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence affine $u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n+c$.

Pour pouvoir affirmer que $𝒮$ est un espace affine de direction ${𝒮}_0$, il reste donc à trouver, en fonction de $c$ (supposé non nul), un élément particulier de $𝒮$.

Premier cas : P(1) ≠ 0

On suppose que $P\left(1\right)=1-a-b\ne 0$. Cherchons un scalaire $\alpha$ tel que la suite (constante) de terme général : $v_n=\alpha$ soit une solution particulière de la récurrence affine.

$v_{n+2}-a{v}_{n+1}-b{v}_n-c=(1-a-b)\alpha -c$ est nul pour tout n si et seulement si $(1-a-b)\alpha =c$.

La solution est donc : $v_n=\frac{c}{1-a-b}$.

Second cas : P(1) = 0

On suppose maintenant que : $P\left(1\right)=1-a-b=0$.

Second cas, premier sous-cas : P'(1) ≠ 0

On suppose que $P^{\prime }(1)=2-a\ne 0$. Cherchons un scalaire $\alpha$ tel que la suite $v_n=\alpha n$ soit une solution particulière de la récurrence affine.

$\begin{array}{cc}{v}_{n+2}-a{v}_{n+1}-b{v}_n-c& =\alpha (n+2)-a\alpha (n+1)-b\alpha n-c\\ & =n\alpha (1-a-b)+\alpha (2-a)-c\\ & =\alpha (2-a)-c\end{array}$

est nul pour tout n si et seulement si $\alpha (2-a)=c$.

La solution est donc : $v_n=\frac{cn}{2-a}$.

Second cas, second sous-cas : P'(1) = 0

On suppose que P'(1) = 0. Cherchons un scalaire $\alpha$ tel que la suite $v_n=\alpha n^2$ soit une solution particulière de la récurrence affine.

On trouve par les mêmes méthodes que précédemment que la solution est : $v_n=\frac{c{n}^2}{2}$.

Cas des suites réelles

Si $K=ℝ$ et si le discriminant $a^2+4b$ du polynôme caractéristique P est strictement négatif, les racines complexes $r_1$ et $r_2$ de P sont distinctes mais non réelles. Elles sont conjuguées l'une de l'autre : $r_1=\rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ et $r_2=\overline{r_1}=\rho {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }$.

Les suites complexes solutions sont donc, dans le cas général, toutes les suites de la forme :

$u_n=\lambda {\rho }^n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\theta }+\mu {\rho }^n{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}n\theta }$ avec $\lambda ,\mu$ paramètres complexes.

Par le changement de paramètres $A=\lambda +\mu ,B=\mathrm{i}(\lambda -\mu )$, ce sont aussi les suites de la forme

$u_n={\rho }^n(A\cos (n\theta )+B\sin (n\theta ))$ avec $A,B$ paramètres complexes.

Les suites réelles solutions sont donc les suites de la forme

$u_n={\rho }^n(A\cos (n\theta )+B\sin (n\theta ))$ avec $A,B$ paramètres réels.

En effet, la condition sur les paramètres A, B (complexes a priori) pour que cette suite soit à valeurs réelles est que A et B soient réels : c'est immédiat dans un sens (si A, B sont réels alors la suite est réelle), et pour la réciproque il suffit de remarquer que $u_0=A,u_1=A\rho \cos \theta +B\rho \sin \theta$ et $\rho \sin \theta$ non nul (donc si $u_0,u_1$ sont réels alors A et B aussi).

Cas des suites entières

Lorsque les trois coefficients $a,b,c$ de la récurrence et les deux valeurs initiales $u_0,u_1$ de la suite sont des entiers (relatifs), la suite est évidemment à valeurs entières. Si ces cinq entiers sont positifs ou nuls, elle est même à valeurs dans $\mathbb{N}$, comme la [[../Exercices/Récurrence linéaire d'ordre 2#Suite de Fibonacci|suite de Fibonacci]].