Systèmes et représentations/Fonctions d'entrée courantes

Fonctions causales

On appelle fonction causale une fonction f de la variable réelle t définie sur $ℝ$ et supposée nulle pour $t\le 0$.

• Fonction normale : $\mathrm{\forall }t\in ℝ,f(t)=0$
• Fonction causale :
  • $\mathrm{\forall }t\in ]-\mathrm{\infty };0],f(t)=0$
  • $\mathrm{\forall }t\in ]0;+\mathrm{\infty }[,f(t)$ est définie

À noter que dans toute la suite, on ne considérera que des fonctions d'entrée causales.

Fonctions impulsions

Impulsion physique (créneau)

Il est défini par :

• $\mathrm{\forall }t\in ]-\mathrm{\infty };0]\bigcup [t_1;+\mathrm{\infty }],x(t)=0$
• $\mathrm{\forall }t\in ]0;t_1[,x(t)=A$

Impulsion de Dirac

On définit une impulsion comme un créneau de surface unité (A = 1/$t_1$).

L'impulsion de Dirac s'obtient en faisant tendre $t_1$ vers 0. Cela revient à générer un signal d'amplitude infinie pendant un temps nul.

Un tel signal ne correspond à aucun signal physique réel, mais il permet de définir ultérieurement des caractéristiques temporelles importantes d'un système dynamique. Il modélise par exemple les chocs que peut recevoir un système.

On représente une impulsion de Dirac avec une flèche :

Échelon unité (fonction existence)

Cette fonction est définie par :

• $\mathrm{\forall }t\in ]-\mathrm{\infty };0],x(t)=0$
• $\mathrm{\forall }t\in ]0;+\mathrm{\infty }[,x(t)=1$

Fonction rampe

Cette fonction est définie par :

• $\mathrm{\forall }t\in ]-\mathrm{\infty };0],x(t)=0$
• $\mathrm{\forall }t\in ]0;+\mathrm{\infty }[,x(t)=a\times t$

Fonction sinusoïdale

Cette fonction est définie par :

• $\mathrm{\forall }t\in ]-\mathrm{\infty };0],x(t)=0$
• $\mathrm{\forall }t\in ]0;+\mathrm{\infty }[,x(t)=\sin \left(\omega t\right)$

avec ω la pulsation (en rad/s).