Systèmes du second ordre/Système sur-amorti

On se place ici dans le cas où $\xi >1$

Calculs

La FT étant, $\underset{\_}{H}(p)=\frac{K}{1+\frac{2\xi }{{\omega }_0}\cdot p+(\frac{p}{{\omega }_0}{)}^2}$,

on en tire le Polynôme Caractéristique qui en est le dénominateur c'est-à-dire $1+\frac{2\xi }{{\omega }_0}\cdot p+(\frac{p}{{\omega }_0}{)}^2=0$ .

que l’on peut ramène au produit de deux systèmes du premier ordre : $\frac{K}{(1-{\tau }_{1}p)\cdot (1-{\tau }_{2}p)}$

avec ${\tau }_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\cdot a}$ et ${\tau }_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\cdot a}$

Diagramme de Bode

On a donc une première asymptote horizontale de gain 20log(K) puis une première pente de -20dB par décade à partir de ${\omega }_1=\frac{1}{{\tau }_1}$ et une seconde de -40dB par décade à partir de ${\omega }_2=\frac{1}{{\tau }_2}$. NB: on voit apparaitre un certain nombre de points remarquables (cf. démo du chapitre sur le 1Modèle:Er ordre), ici i= 1 ou 2 ;

• La pulsation de cassure en ${\omega }_i=\frac{1}{{\tau }_i}$ se trouve 3db en dessous de l'asymptote horizontale.
• La pulsation un octave avant la cassure ${\omega }_i=\frac{1}{2{\tau }_i}$ qui elle se trouve à 1db sous l'asymptote horizontale.
• La pulsation un octave après la cassure ${\omega }_i=\frac{2}{{\tau }_i}$ qui se trouve à 7db sous l'asymptote horizontale.

Diagramme de Bode d'un système du 2nd ordre avec $\xi <1$, en haut, le diagramme en gain et en bas le diagramme en phase, on a ici en vert la courbe réelle et en rouge la courbe asymptotique.