Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes sans paramètre

Exercice 1-1

Résoudre les systèmes :

$(S_1)\{\begin{array}{cc}x+y-z& =0\\ x-y& =0\\ x+4y+z& =0\end{array}(S_2)\{\begin{array}{cc}x+y+2z& =5\\ x-y-z& =1\\ x+z& =3\end{array}(S_3)\{\begin{array}{cc}2x+y+z& =3\\ 3x-y-2z& =0\\ x+y-z& =-2\\ x+2y+z& =1\end{array}$

$(S_4)\{\begin{array}{cc}x+y+z+t& =1\\ x-y+2z-3t& =2\\ 2x+4z+4t& =3\\ 2x+2y+3z+8t& =2\\ 5x+3y+9z+19t& =6\end{array}(S_5)\{\begin{array}{cc}x-y+z+t& =5\\ 2x+3y+4z+5t& =8\\ 3x+y-z+t& =7.\end{array}$ Modèle:Solution

Exercice 1-2

Sans chercher à résoudre les systèmes suivants, discuter la nature de leurs ensembles de solutions :

$(S_1)\{\begin{array}{cc}x+y-z& =0\\ x-y& =0\\ +y+z& =0\end{array}(S_2)\{\begin{array}{cc}x+3y+2z& =1\\ 2x-2y& =2\\ x+y+z& =2\end{array}(S_3)\{\begin{array}{cc}x+3y+2z& =1\\ 2x-2y& =2\\ x+y+z& =1.\end{array}$

Exercice 1-3

QCM — Test de cours : il y a au moins une réponse exacte par question. Certaines questions nécessitent d'écrire quelques lignes au brouillon.

1. Soit $(S)$ un système linéaire homogène. Alors :
   1. le système $(S)$ possède toujours une infinité de solutions.
   2. il peut arriver que $(S)$ n'ait aucune solution
   3. l'ensemble des solutions de $(S)$ est $\{(0,0,0)\}$
   4. si le système $(S)$ possède une solution non nulle, alors il possède une infinité de solutions.
2. Soit $(S)$ un système d'équations linéaires à 2 inconnues.
   1. il peut arriver que le système $(S)$ possède un cercle non trivial comme ensemble de solutions.
   2. si l'ensemble des solutions contient une droite de ${ℝ}^2$ et un point en dehors de cette droite alors l'ensemble des solutions est ${ℝ}^2$.
   3. l'ensemble des solutions est soit un point, soit une droite de ${ℝ}^2$.
   4. si le système homogène associé à $(S)$ a une unique solution alors $(S)$ a une unique solution.
3. Soit $m$ un paramètre réel. Dans quel cas obtient-on toujours un système équivalent en effectuant :

   $(a)L_1\leftarrow -3L_2?(b)L_2\leftarrow m{L}_1-3L_2?(c)L_1\leftarrow m{L}_1-3L_2?$

4. Soit $(S)$ un système de trois équations à trois inconnues. Soit le système $(S^{\prime })$ obtenu à partir de $(S)$ en effectuant les opérations suivantes sur les lignes du système $(S)$ :

   $\{\begin{array}{cc}{L}_1& \leftarrow L_1-L_2\\ L_2& \leftarrow L_2-L_3\\ L_3& \leftarrow L_3-L_1\end{array}$ Alors

   1. le système $(S)$ est équivalent au système $(S^{\prime })$.
   2. les deux systèmes ont même ensemble de solutions.
   3. le système $(S)$ n'est pas toujours équivalent au système $(S^{\prime })$.
   4. le système $(S)$ n'est pas équivalent au système $(S^{\prime })$ mais ils peuvent avoir même ensemble de solutions.
5. L'ensemble des solutions du système : $\{\begin{array}{ccccc}x& & +z& =& 1\\ & y& -z& =& 0\end{array}$ est :
   1. $\{(1,0,0)\}$
   2. $\{(0,0,1)\}$
   3. $\{(1,0,0)+t(-1,1,1)\mid t\in ℝ\}$, c'est-à-dire la droite affine passant par le point $(1,0,0)$ et dirigée par le vecteur $(-1,1,1)$
   4. $\{(2,-2,-2)+t(-1,-1,1))\mid t\in ℝ\}$ c'est-à-dire la droite affine passant par le point $(2,-2,-2)$ et dirigée par le vecteur $(-1,-1,1)$.

Lien externe

Modèle:Lien web (linéaires ou pas, et avec ou sans paramètres)