Suites et récurrence/Exercices/Sujet de bac S

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2007

N.B. Dans le programme officiel maths TS 2011, le « théorème des gendarmes » n'est mentionné qu'au sujet des suites, et est impérativement admis.

Exercice 3

Question de cours

1. Soit $f$ une fonction réelle définie sur $[a;+\mathrm{\infty }[$. Compléter la phrase suivante :

On dit que $f$ admet une limite finie $L$ en $+\mathrm{\infty }$ si $...$

2. Démontrer le "théorème des gendarmes".

Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[a;+\mathrm{\infty }[$ et $L$ un nombre réel.

Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $L$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$,

et si pour tout $x$ assez grand, $g(x)\le f(x)\le h(x)$,

alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ est égale à $L$.

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par :

$f(x)=e^x-x-1$

et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

La droite $(D)$ d'équation $y=-x-1$ est asymptote à $(C)$.

1. Soit $a$ un nombre réel. Écrire, en fonction de $a$,

une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point $M$ d'abscisse $a$.

2. Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point $N$ d'abscisse $b$. Vérifier que $b-a=-1$.

3. En déduire une construction de la tangente $(T)$ à $(C)$au point $M$ d'abscisse 1,5.

Partie B

1. Déterminer graphiquement le signe de $f$.

Modèle:Solution 2. En déduire, pour tout entier naturel non nul $n$, les inégalités suivantes :

$(1)e^{\frac{1}{n}}\ge 1+\frac{1}{n};(2)e^{\frac{-1}{n+1}}\ge 1-\frac{1}{n+1}$.

3. En utilisant l'inégalité (1), démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n$ :

$(1+\frac{1}{n}{)}^n\le e$

4. a) Déduire de l'inégalité (2) l'inégalité (3) suivante :

$e^{\frac{1}{n+1}}\le \frac{1}{1-\frac{1}{n}}$

b) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n :

$\frac{1}{1-\frac{1}{n}}=1+\frac{1}{n}$

c) En déduire que pour tout entier naturel non nul n :

$e\le (1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}$

5. Déterminer à partir des questions précédentes un encadrement de :

$(1+\frac{1}{n}{)}^n$

puis sa limite en $+\mathrm{\infty }$.