Suites et récurrence/Exercices/Suite récurrente

Une fonction tangente à la première bissectrice

On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par :

$u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = \frac{5 u_{n} - 1}{u_{n} + 3}$

1. Donner une fonction $f$ définie sur $ℝ ∖ {- 3}$ telle que $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

2. Étudier les variations de $f$ .

3. Démontrer que $f (x) \leq x$ pour tout $x > - 3$ .

4. Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ en $x = 1$ .

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : $u_{n} \geq 1$ .

2. Démontrer que $(u_{n})$ est décroissante.

3. En déduire que $(u_{n})$ converge et déterminer sa limite.