Suites et récurrence/Exercices/Démonstration par récurrence

Récurrence simple

Montrer par récurrence les propriétés suivantes :

1. $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}\sum _{1\le j\le n}(j\times j!)=(n+1)!-1$ ;
2. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\frac{1}{n!}\le \frac{1}{2^{n-1}}$ ;
3. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{5}^n-2^n$ est multiple de 3 ;
4. $\mathrm{\forall }n\ge 23^n\ge 2^n+\frac{5n}{2}$.

Chercher l'erreur

Voici un raisonnement (par récurrence) dont la conclusion est que toutes les vaches sont de la même couleur. Comme le nombre de vaches dans le monde est assurément fini, on va en fait montrer la propriété ${𝒫}_n(n\ge 1)$ : « pour tout entier $n>0$ et pour tout groupe de $n$ vaches, toutes les vaches de ce groupe sont de la même couleur ». Voici cette « preuve » :

• Initialisation : pour $n=1$, toutes les vaches d'un groupe composé d'une seule vache ont certainement la même couleur puisqu'une vache a la même couleur qu'elle-même.
• Hérédité : hypothèse de récurrence : on suppose que ${𝒫}_n$ est vraie pour un entier $n\ge 1$ fixé et l'on considère un groupe de $n+1$ vaches. On les range l'une derrière l'autre. Par hypothèse de récurrence, les $n$ premières sont toutes de la même couleur et la dernière est aussi de cette couleur (par exemple en tant que membre des $n$ dernières), ce qui montre bien que les $n+1$ vaches sont de la même couleur.

Quelle erreur a-t-on commise dans ce raisonnement ? Modèle:Solution