Structure algébrique/Anneau (mathématiques)

Ce chapitre décrit de façon succincte la structure d'anneau, et donne les exemples fondamentaux.

Voyons maintenant quelques exemples classiques permettant d'illustrer la définition et la remarque.

Voyons maintenant une propriété qui montre les subtilités de la structure d'anneau. Observons l'exemple suivant sur l'anneau des matrices : soit $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\in M_2(ℂ)$ ; un calcul direct montre que $A^2=0$. Cet exemple montre que dans un anneau il est possible qu'un produit soit nul sans qu'aucun des facteurs ne le soit. Cela pousse à définir la notion d'anneau intègre suivante :

À l'exception de l'anneau des matrices, tous les anneaux présentés dans l'exemple précédent sont intègres. Cette propriété est très utile pour la résolution d'équation produit-nul comme dans les ensembles de nombres classiques.

Pour conclure cette présentation des concepts fondamentaux de la théorie des anneaux, intéressons-nous à la notion d'idéal. Un idéal est une partie d'un anneau stable pour les deux opérations et muni d'une propriété d'absorption pour la multiplication. C'est une sous-structure importante pour un anneau qui va permettre l'étude de sa structure ainsi que la construction de nouveaux anneaux (dits anneaux quotients). Nous donnons la définition uniquement dans le cas d'un anneau commutatif pour ne pas surcharger cette page de présentation.

À partir de ces quelques définitions, on peut déjà dégager deux questions importantes lors de l'étude d'un anneau $A$ :

• Quels sont les éléments inversibles de l'anneau, s'il en a ?
• Quels sont les idéaux de l'anneau ? On décline cette question par la recherche d'idéaux possédant des propriétés particulières (premiers, maximaux, etc.).

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