Sommation/Exercices/Sommation double

Exercice 4-1

Calculer :

$\sum _{k=1}^n\sum _{i=1}^n\ln \left(i^k\right)$.

Exercice 4-2

Calculer :

$a)\sum _{1⩽i⩽j⩽n}\frac{i}{j}b)\sum _{1⩽i⩽j⩽n}ijc)\sum _{1⩽i⩽j⩽n}i+j$.

Exercice 4-3

Calculer :

$a)\sum _{0⩽i⩽j⩽n}{a}^{i+j}b)\sum _{1⩽i⩽n}\sum _{1⩽j⩽n}\max (i,j)c)\sum _{1\le i,j\le n}\min (i,j),d)\sum _{1\le i,j\le n}|i-j|$. Modèle:Solution

Exercice 4-4

Inverser les sommes suivantes :

$a)\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^p{u}_{i,j}b)\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^i{u}_{i,j}c)\sum _{i=0}^n\sum _{j=i}^p{u}_{i,j}d)\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^i{u}_{i,j}e)\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{\mathrm{\infty }}{u}_{i,j}$.

Exercice 4-5

Calculer :

$a)\sum _{1⩽i⩽j⩽k⩽n}\frac{ik}{j}b)\sum _{1⩽i⩽j⩽k⩽n}\frac{ij}{k}c)\sum _{1⩽i⩽j⩽k⩽l⩽n}\frac{i}{jkl}$

Exercice 4-6

Calculer :

$a)\sum _{k=1}^{n^2}E\left(\sqrt{k}\right)b)\sum _{k=1}^{n^3}E\left(\sqrt[3]{k}\right)$

($E$ étant la fonction partie entière). Modèle:Solution

Exercice 4-7

Soit un entier $n>0$. Pour toute permutation $f\in S_n$, on note $\mathrm{Fix}(f)=\{i\in \{1,2,\dots ,n\}\mid f(i)=i\}$.

1. Pour un $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ donné, combien y a-t-il de permutations $f\in S_n$ qui fixent $i$ ?
2. En déduire que $\sum _{f\in S_n}\mathrm{card}(\mathrm{Fix}(f))=n!$.