Sommation/Exercices/Sommation de combinaisons

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Modèle:Exercice

Modèle:Clr

Exercice 6-1

On rappelle (Exercice 5-1 ou 5-6) :

∑k=0nk(nk)=n2n−1 ;
∑k=0nk(k−1)(nk)=n(n−1)2n−2 ;
∑k=0nk(k−1)(k−2)(nk)=n(n−1)(n−2)2n−3.

En déduire l'expression (en fonction de n) de :

a)∑k=0nk2(nk)b)∑k=0nk3(nk).

Modèle:Solution

Exercice 6-2

Calculer successivement :

a)∑k=0n1k+1(nk)b)∑k=0n1k+2(nk).

Modèle:Solution

Exercice 6-3

On rappelle la formule de Pascal (chapitre 4) :

(nk)+(nk+1)=(n+1k+1).

En déduire la formule des colonnes :

∀m≥n≥0∑k=nm(kn)=(m+1n+1).

Modèle:Solution Pour d'autres méthodes, voir Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-1, question d).

Exercice 6-4

On rappelle la formule de Vandermonde (chapitre 1 et exercice 5-4) :

∑j(nj)(mr−j)=(m+nr)

ainsi que la formule (élémentaire : Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-1, c) :

(nk)(kt)=(nt)(n−tk−t).

Calculer :

∑k(kt)(nk)(mk+s).

Modèle:Solution

Exercice 6-5

Soit n∈ℕ. En utilisant le nombre complexe j=e2iπ/3 et en procédant comme dans l'exercice 5-2, calculer :

S0:=∑k(n3k),S1:=∑k(n3k+1),S2:=∑k(n3k+2).

Modèle:Solution

Exercice 6-6

Soient n,p∈ℕ. Calculer :

∑k≤p(−1)k(nk).

Modèle:Solution

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