Sommation/Exercices/Changement d'indice

Exercice 3-1

Calculer :

$a)\sum _{k=1}^n\frac{2}{k^2+2k}b)\sum _{k=1}^n\ln (1+\frac{2}{k})$.

Exercice 3-2

Calculer :

$a)\sum _{k=0}^n(k+1{)}^{2}b)\sum _{k=0}^{n-1}(n-k+1{)}^2$

Exercice 3-3

Calculer :

$a)\sum _{k=2}^n\frac{1}{k^3-k}b)\sum _{k=2}^n\ln (1-\frac{1}{k^2})$

Exercice 3-4

Calculer :

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{3^k+4^k}{5^k}$.

Exercice 3-5

Calculer :

$\sum _{i=0}^{3n}E\left(\frac{i^2}{3}\right)$

Exercice 3-6

Ceci est une formalisation de l'exercice 2-6.

En faisant un glissement d'indice dans des sommes de la forme :

$\sum _{k=0}^n(k+1{)}^m$,

redémontrer successivement les formules bien connues :

$a)\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}b)\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}c)\sum _{k=1}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$.

Exercice 3-7

Calculer $\sum _{i=0}^n\left[X^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\sum _{k=i}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{n-k})\right]$. Modèle:Solution