Similitude/Exercices/Avec des complexes

Exercice 5-1

Le plan $P$ est muni d'un repère orthonormal direct d'origine $O$.

1. Déterminez l'ensemble des points du plan $P$ dont l'affixe $z$ vérifie :

   $|(1-\mathrm{i})z+2\mathrm{i}|=2$.

2. Étudiez la transformation de $P$ qui, au point d'affixe $z$, fait correspondre le point d'affixe :

   $z^{\prime }=(1-\mathrm{i})z+2\mathrm{i}$.

3. En utilisant la transformation précédente, retrouvez le résultat de la question 1.

Exercice 5-2

Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $12$ et $9\mathrm{i}$.

On note $f$ la similitude directe dont l'écriture complexe est :

$Z=-\frac{3}{4}\mathrm{i}z+9\mathrm{i}$.

1. Déterminez le centre $\mathrm{\Omega }$, l’angle et le rapport de $f$.
2. Quelles sont les images par $f$ des points $A$ et $O$ ?
3. Montrez que $\mathrm{\Omega }A\times \mathrm{\Omega }B=\mathrm{\Omega }{O}^2$.
4. Montrez que que $\mathrm{\Omega }$ est le pied de la hauteur issue de $O$ dans le triangle $AOB$ et qu'il appartient aux cercles ${𝒞}_1$ et ${𝒞}_2$ de diamètres respectifs $[OA]$ et $[OB]$.
5. Faites une figure comportant les points $A$, $B$ et $\mathrm{\Omega }$, ainsi que les cercles ${𝒞}_1$ et ${𝒞}_2$ (unité graphique : Modèle:Unité).

Exercice 5-3

Soit $\alpha$ un complexe de module $r$ et d'argument $\theta$. Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

Parmi les similitudes directes de rapport $r$ et d'angle $\theta$ :

• celle de centre $A$ transforme $B$ en $Q$ ;
• celle de centre $B$ transforme $C$ en $M$ ;
• celle de centre $C$ transforme $D$ en $N$ ;
• celle de centre $D$ transforme $A$ en $P$.

1. On note $a$, $b$ et $q$ les affixes respectives de $A$, $B$ et $Q$. Déterminez $q$ en fonction de $\alpha$, $a$ et $b$.
2. Montrez que « $MNPQ$ est un parallélogramme » équivaut à « $\alpha =\frac{1}{2}$ ou $ABCD$ est un parallélogramme »
3. On suppose que $ABCD$ est un parallélogramme et que $\alpha =\frac{1+\mathrm{i}}{2}$. Déduisez-en que $MNPQ$ est un carré.

Exercice 5-4

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, soit $ABC$ un triangle direct dont le point $O$ est le centre de son cercle circonscrit. On désigne par $M$ le milieu de $[BC]$, $N$ celui de $[CA]$ et $P$ celui de $[AB]$ ; les affixes respectives des points $A$, $B$, $C$, $M$, $N$ et $P$ sont notées $a$, $b$, $c$, $m$, $n$ et $p$.

1°  Dans cette question $m=-1-3\mathrm{i},n=2$. L'unité de longueur est le centimètre.

Construisez les triangles $MNP$ et $ABC$.

2°  Soit $f$ la transformation du plan qui à chaque point d'affixe $z=x+\mathrm{i}y$ associe le point d'affixe :

$z^{\prime }=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}}{\sqrt{2}}(-z+m+n+p)$.

Quelle est la nature de $f$ ? Donnez ses éléments caractéristiques.

3°  a)  Montrez que $a=n+p-m$.

b)  Exprimez $b$ et $c$ en fonction de $m$, $n$ et $p$.

4°  On pose $f(A)=A^{\prime }$, $f(B)=B^{\prime }$ et $f(C)=C^{\prime }$.

On désigne par $a^{\prime }$, $b^{\prime }$ et $c^{\prime }$ les affixes respectives des points $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ et $C^{\prime }$.

a)  Démontrez que $a^{\prime }=(1+\mathrm{i})m$, $b^{\prime }=(1+\mathrm{i})n$ et $c^{\prime }=(1+\mathrm{i})p$.

b)  Déduisez-en que $\overrightarrow{M{A}^{\prime }}$ et $\overrightarrow{OM}$ sont orthogonaux et que $A^{\prime }$ appartient à la droite $(BC)$.

c)  Montrez de même que $B^{\prime }$ appartient à la droite $(CA)$ et que $C^{\prime }$ appartient à la droite $(AB)$.

5°  Montrez qu'il existe une similitude directe transformant le triangle $MNP$ en le triangle $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Précisez les éléments de cette similitude.

6°  Complétez par les points $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ et $C^{\prime }$ la figure du 1°. Modèle:Solution Modèle:Solution

Exercice 5-5

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(A;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère un parallélogramme tel que : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{u}$.

On note $E$ le point d'affixe $1+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{i}$ et $F$ l'image de $C$ par la similitude directe $f$ de centre $B$, de rapport $\frac{1}{2}$ et d'angle $\frac{\pi }{3}$.

1°  Vérifier que $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})=\frac{\pi }{6}$ et montrez que le triangle $BCF$ est rectangle en $F$. Faites une figure soignée.

2°  On note $g$ la similitude directe de centre $E$ qui transforme $A$ en $B$.

Donnez les éléments caractéristiques de $g$.

3°  On note $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$. Montrez que $g=f\circ t$.

4°  Montrez que $g$ transforme $D$ en $F$.

Déduisez-en la nature et les angles du triangle $DEF$.

Exercice 5-6

Dans le plan orienté, $AFED$ est un carré direct, de côté $1$.

Soit $l$ la longueur du segment $[AB]$ du rectangle $ABCD$ ($F\in [AB]$, $E\in [CD]$).

1°  On suppose, uniquement dans cette question et la suivante, qu'il existe une similitude directe $S$ transformant respectivement $A$, $B$, $C$ et $D$ en $B$, $C$, $E$ et $F$.

Montrez que $l$ est égal à $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (le nombre d'or).

2°  a)  Quel est l'angle de la similitude $S$ ?

b)  Montrez que $S\circ S$ est une homothétie.

c)  Déduisez des questions précédentes que les segments $[AC]$ et $[BE]$ se coupent au centre $\mathrm{\Omega }$ de $S$.

3°  On suppose maintenant que $l=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. On choisit comme repère $(A,\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AD})$.

À tout point $M$ d'affixe $z$ on associe le point $g(M)$ d'affixe :

$z^{\prime }=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\mathrm{i}z+\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

Déterminez la nature de $g$ et précisez ses éléments. Quelles sont les images par $g$ des points $A$, $B$, $C$ et $D$ ?

Exercice 5-7

Dans le plan orienté, on considère un triangle rectangle isocèle $ABC$ tel que $AB=AC=l$, où $l$ est un réel fixé strictement positif, et $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\pi }{2}(\mathrm{mod}2\pi )$.

On note $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$ et $O$ le milieu de $[CD]$. Placez sur une figure les points $A,B,C,D,O$.

On désigne par $s$ la similitude directe qui transforme $D$ en $B$ et $B$ en $C$ et l'on se propose de déterminer, par deux méthodes indépendantes, les éléments caractéristiques de $s$, notamment son centre $I$.

1°  Méthode géométrique :

a)  Déterminez le rapport $k$ et l’angle $\alpha$ de la similitude $s$.

b)  Montrez que $(\overrightarrow{ID},\overrightarrow{IC})=-\frac{\pi }{2}(\mathrm{mod}2\pi )$ et $IC=2ID$.

c)  En déduire la nature du quadrilatère $CADI$ et la position du point $I$.

2°  Utilisation de nombres complexes :

On pose $\overrightarrow{u}=\frac{1}{l}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v}=\frac{1}{l}\overrightarrow{AC}$ et l'on considère le repère orthonormal $(A;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ du plan complexe.

a)  Déterminez les affixes des points $B$, $C$ et $D$.

b)  Déterminez l'écriture complexe de la similitude $s$. En déduire son rapport, son angle, et l'affixe de $I$.

Exercice 5-8

$(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ est un repère orthonormal direct. On note $D$ la droite $(O;\overrightarrow{i})$ et $\mathrm{\Delta }$ la droite $(O;\overrightarrow{j})$.

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont des vecteurs non nuls tels que :

$(\overrightarrow{i},\overrightarrow{u})=(\overrightarrow{j},\overrightarrow{v})=\frac{\pi }{6}$.

Pour chaque point $M$, on note $D_M$ et ${\mathrm{\Delta }}_M$ les droites qui passent par $M$ et de vecteurs directeurs respectifs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

$D_M$ coupe $D$ en $m$, ${\mathrm{\Delta }}_M$ coupe $\mathrm{\Delta }$ en $p$.

On note $M^{\prime }$ le point dont les projections orthogonales sur $D$ et $\mathrm{\Delta }$ sont respectivement $m$ et $p$.

Enfin, on note $f$ l'application $M\mapsto M^{\prime }$.

Le but de l'exercice est de démontrer que $f$ est une similitude.

1. Démontrez que les coordonnées de $M^{\prime }$ sont :

   $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x-y\sqrt{3}\\ y^{\prime }=x\sqrt{3}+y\end{array}$

   où $(x,y)$ sont les coordonnées de $M$.

2. Exprimez l'affixe $z^{\prime }$ de $M^{\prime }$ en fonction de l’affixe $z$ de $M$, et déduisez-en que $f$ est une similitude, en précisant ses éléments caractéristiques.