Similitude/Exercices/Écriture complexe

Exercice 2-1

Ci-dessous, on donne l'écriture complexe, dans un repère orthonormal direct, d'une transformation $f$ qui à un point d'affixe $z$ associe un point d'affixe $z^{\prime }$. Reconnaissez $f$ et précisez ses éléments caractéristiques :

1. $z^{\prime }=\mathrm{i}z\sqrt{2}$ ;
2. $z^{\prime }=-2\mathrm{i}z-1$ ;
3. $z^{\prime }=5z-3\mathrm{i}$ ;
4. $z^{\prime }-1+2\mathrm{i}=-3z+3(1-2\mathrm{i})$.

Exercice 2-2

Dans le plan complexe, on donne les quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives :

$z_A=-2+6\mathrm{i}$, $z_B=1-3\mathrm{i}$, $z_C=5+5\mathrm{i}$ et $z_D=2+4\mathrm{i}$.

1°  Soit $S$ la similitude qui, à tout point d'affixe $z$, fait correspondre le point d'affixe $z^{\prime }=3\mathrm{i}z+13-9\mathrm{i}$.

a)  Donnez les éléments de cette similitude : rapport, angle et centre.

b)  Quelle est l'image par $S$ du point $C$ ? du point $D$ ? Montrez que les vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{S(C)S(D)}$ sont orthogonaux.

2°  Soit $R$ la similitude directe déterminée par $R(B)=C$ et $R(D)=A$.

a)  Trouvez la relation liant l’affixe $z$ d'un point $M$ et l'affixe $z^{\prime }$ de son image $R(M)$.

b)  Donnez les éléments de cette similitude.

Montrez que les vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{CA}$ sont orthogonaux.

c)  Que représente le point $D$ pour le triangle $ABC$ ?

Exercice 2-3

$f$ est la transformation dont l'écriture complexe est :

$z^{\prime }=u^{2}z+u-1(u\in ℂ)$.

1°  Déterminez l’ensemble des nombres complexes $u$ pour lesquels :

a)  $f$ est une translation ;

b)  $f$ est une rotation d'angle $\frac{\pi }{2}$ ;

c)  $f$ est une homothétie de rapport $-2$.

2°  On suppose que $u=1-\mathrm{i}$. Déterminez alors la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques. Modèle:Solution

Exercice 2-4

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. On considère le point $A$ de coordonnées $(1,0)$ et le point $B$ de coordonnées $(0,1)$.

Soit $S_1$ la similitude directe de centre $A$, d'angle $\frac{2\pi }{3}$ et de rapport $2$.

Soit $S_2$ la similitude directe de centre $B$, d'angle $\frac{\pi }{3}$ et de rapport $\frac{1}{2}$.

1°  Donnez l'écriture complexe de $S_1$, puis celle de $S_2$.

2°  a)  Quelle est la nature de la transformation $T=S_2\circ S_1$ ?

b)  Précisez son point fixe et son écriture complexe.

c)  Soit $M$ un point de coordonnées $(x,y)$. Exprimez les coordonnées $(x^{\prime },y^{\prime })$ de $T(M)$ en fonction de $x$ et $y$.

Exercice 2-5

Dans le plan muni du repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A(3,-1)$ et $B(0,2)$.

On désigne par :

• $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $-\sqrt{2}$ ;
• $r$ la rotation de centre $B$ et d'angle $\frac{3\pi }{4}$ ;
• $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{BO}$.

1. Construisez, après avoir donné une justification rapide, le point $\mathrm{\Omega }$ du plan dont l'image par $t\circ r\circ h$ est l'origine $O$.
2. Quelle est la nature de la transformation $t\circ r\circ h$ ? Donnez-en les éléments caractéristiques.

Exercice 2-6

On considère dans $ℂ$ l'équation :

$z^3-(4+\mathrm{i}\sqrt{3})z^2+(3+4\mathrm{i}\sqrt{3})z-3\mathrm{i}\sqrt{3}=0$.

1°  Montrez que cette équation admet deux solutions réelles (on les notera $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha <\beta$) et une solution imaginaire pure, notée $\omega$.

2°  Soit $f:ℂ\to ℂ$ une application telle que pour tout complexe $z$ : $f(z)=az+b$ ($a$ et $b$ complexes).

a)  Déterminez $a$ et $b$ de telle sorte que : $f(\omega )=\omega$ et $f(\alpha )=\beta$.

b)  Calculez le module et l'argument de $a$.

c)  Caractérisez la transformation du plan complexe qui à tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $f(z)$.