Similitude/Définition des similitudes

Définition

Soit ƒ une application du plan dans lui-même.

Conséquences

• ƒ conserve les configurations géométriques usuelles.
• Il existe un réel $k>0$, appelé le rapport de la similitude ƒ, tel que : si A et B sont deux points du plan et A' et B' leurs images respectives par ƒ, alors $A^{\prime }{B}^{\prime }=k\times AB$.
• La composée d'une similitude de rapport k et d'une similitude de rapport kModèle:' est une similitude de rapport kkModèle:'.

Exemples

• Toute homothétie de rapport h est une similitude de rapport k = |h|.
• Les similitudes de rapport 1 sont les isométries.

Classification

Exemple

Les homothéties sont des similitudes directes.

Remarques

• La composition des similitudes suit la « règle des signes » (+ pour les directes et – pour les indirectes) : par exemple, la composée de deux similitudes indirectes est une similitude directe.
• Pour toute similitude directe ƒ, il existe un angle orienté α, appelé l'angle de la similitude directe ƒ, tel que : si A et B sont deux points du plan et A' et B' leurs images respectives par ƒ, alors $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }})=\alpha$.

Décomposition

Notion de déplacement/antidéplacement

Exemples

• Les translations et les rotations sont des déplacements.
• Les symétries axiales sont des antidéplacements.