Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes

Réponse en intensité d'un circuit « L parallèle sur R » en série avec C, soumis à une tension de valeur efficace fixée

Schéma d'un circuit composé d'un «$RL\parallel$» en série avec $C$, ensemble soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence fixées

Modèle:AlOn impose au circuit ci-contre une tension sinusoïdale $u(t)=U\sqrt{2}\cos (\omega t)$, la réponse forcée en intensité de courant circulant dans le circuit étant mise sous la forme $i(t)=I\sqrt{2}\cos (\omega t-\phi )$.

Condition pour que l'intensité efficace I du courant circulant dans le circuit soit indépendante de R

Modèle:AlAprès avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, déterminer l'intensité efficace complexe du courant y circulant et
Modèle:AlModèle:Transparenten déduire son intensité efficace $I$ en fonction de $L$, $C$, $R$, $U$ et $\omega$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentdéterminer à quelle condition de pulsation, $I$ est indépendante de $R$.

Modèle:Solution

Dans cette condition évaluation de l'intensité efficace I₁ du courant ainsi que l'avance de phase φ₁ de la tension sur l'intensité

Modèle:AlLa condition précédente étant réalisée déterminer la valeur $I_1$ de l'intensité efficace du courant traversant le circuit et

Modèle:AlModèle:Transparentla valeur ${\phi }_1$ de l'avance de phase de la tension imposée au circuit sur l'intensité du courant le traversant.

Condition supplémentaire pour que la tension et l'intensité soient en phase

Modèle:AlEn déduire la condition supplémentaire pour que ${\phi }_1$ soit nul.

Réponse en intensité d'un circuit « R C série » en parallèle sur une bobine réelle en phase avec la tension imposée de valeur efficace fixée

Schéma d'un circuit composé d'un «$RC$ série » en parallèle sur une bobine réelle modélisée par «$rL$ série », ensemble soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence réglable

Modèle:AlOn considère le circuit représenté ci-contre où la f.e.m. du générateur de tension parfait est $e(t)$ sinusoïdale de valeur efficace fixée $E$ et de pulsation variable $\omega$ ;
Modèle:Alon s'intéresse à la réponse sinusoïdale forcée en $i(t)$ intensité du courant délivré au circuit ci-contre par le générateur.

Modèle:AlSous réserve de condition sur $r$, $R$, $L$ et $C$, il existe une pulsation ${\omega }_1$ pour laquelle l'intensité $i(t)$ est en phase avec la tension $e(t)$.

Modèle:AlDéterminer la pulsation ${\omega }_1$ et

Modèle:Alpréciser les conditions associées.

Modèle:Solution

Montage déphaseur

Schéma d'un pont de type Wheatstone en r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ et en sortie ouverte composé des deux couples de D.P.L. croisés «$RL$» et «$CL$»

Modèle:AlOn considère le circuit ci-contre où on étudie la « réponse sinusoïdale forcée en $u(t)=U\sqrt{2}\cos (\omega t+\phi )$ tension de sortie du pont d'impédances en Modèle:Nobr de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ alimenté en entrée par $e(t)=E\sqrt{2}\cos (\omega t)$».

Tension efficace de sortie indépendante de R, L et C

Modèle:AlDéterminer « la tension efficace complexe de sortie $\underset{\_}{U}=U\exp \left(j\phi \right)$» en fonction de la tension efficace complexe d'entrée $E$, des grandeurs caractérisant le pont de type Wheatstone et de la pulsation $\omega$ du r.s.f. ;

Modèle:Alen déduire « la tension efficace de sortie $U$» et
Modèle:Alvérifier qu'elle est indépendante de $R$, $L$ et $C$.

Modèle:Solution

Avance de phase de la tension de sortie sur la tension d'entrée et justification du nom du montage

Modèle:AlExprimer l'avance de phase $\phi$ de la tension de sortie $u(t)$ sur celle d'entrée $e(t)$ et

Modèle:Alpréciser comment $\phi$ varie lorsque l'on fait varier $R$ de $0$ à $\mathrm{\infty }$.

Modèle:AlJustifier le nom du montage.

R.D.L.A. (réseau dipolaire linéaire actif) en r.s.f. équivalent, pour une fréquence particulière, à un générateur de courant quand il est fermé sur un conducteur ohmique

Schéma d'un P.D.T. en r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ alimenté en entrée par $e(t)$, un condensateur en tant que D.P.L. d'attaque, une bobine pure en tant que D.P.L. aux bornes duquel est la sortie, l'ensemble étant équivalent à une source de courant parfaite quand on branche un conducteur ohmique en sortie du P.D.T.

Modèle:AlOn considère le circuit ci-contre dans lequel le générateur de fonctions délivre une f.e.m. instantanée sinusoïdale $e(t)=E\sqrt{2}\sin (\omega t)$, de valeur efficace $E$ fixée et de pulsation $\omega$ que l'on fait varier ; de plus, son dipôle passif interne est supposé d'impédance négligeable.

Modèle:AlLe reste du circuit est composé d'un P.D.T. en r.s.f. dont le « D.P.L. aux bornes duquel est définie la sortie est une bobine parfaite d'inductance propre $L$» et le « D.P.L. d'attaque un condensateur de capacité $C$» ; on place en sortie un conducteur ohmique de résistance $R$.

Valeur de la pulsation pour que l'intensité efficace du courant traversant R soit indépendante de R

Modèle:AlDéterminer l'« intensité instantanée complexe $\underset{\_}{i}(t)=\underset{\_}{I}\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$ du courant circulant dans le conducteur ohmique » avec «$\underset{\_}{I}=I\exp \left(j\phi \right)$ l'intensité efficace complexe » puis

Modèle:Alen déduire l'« intensité efficace complexe $\underset{\_}{I}$» ainsi que l'« intensité efficace $I$» ;

Modèle:Aldéterminer la « valeur de la pulsation ${\omega }_1$ pour laquelle l'intensité efficace $I$ traversant le conducteur ohmique est indépendante de $R$».

Modèle:Solution

Sous condition de cette pulsation, circuit équivalent à un générateur de courant

Modèle:AlVérifier qu'à cette pulsation ${\omega }_1$ le P.D.T. situé entre $A$ et $B$ dans la partie en pointillés est équivalent $($lorsqu'il est branché aux bornes d'un conducteur ohmique$)$ à une source de courant parfaite dont on donnera le c.e.m. en fonction des données.

Modèle de Thévenin d'un R.D.L.A. (réseau dipolaire linéaire actif)

Schéma d'un P.D.T. en r.s.f. à $2$ étages : le 1^er étage alimenté par $e(t)$ sinusoïdale de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ ayant $R$ comme résistance d'attaque et sa sortie aux bornes de $L$ sur laquelle est branché le 2^ème étage de résistance d'attaque de même $R$, la sortie globale étant aux bornes de $C$

Modèle:AlOn considère le circuit ci-contre alimenté entre $A$ et $B$ par une source de tension sinusoïdale de f.e.m. instantanée «$e(t)=$ $E\sqrt{2}\cos (\omega t)$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentà la sortie de cette source de tension sinusoïdale on branche un « P.D.T. en r.s.f. à deux étages » constitué

• d'un 1^er étage alimenté par $e(t)=E\sqrt{2}\cos (\omega t)$, de D.P.L. d'attaque composé d'un conducteur ohmique de résistance $R$, la sortie de ce 1^er étage étant aux bornes d'une bobine parfaite d'inductance propre $L$ et
• d'un 2^ème étage alimenté par la sortie du 1^er étage, de D.P.L. d'attaque composé d'un conducteur ohmique de même résistance $R$, la sortie de ce 2^ème étage étant aux bornes d'un condensateur de capacité $C$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentpour ce circuit la fréquence du générateur $f=\frac{\omega }{2\pi }$ est telle que «$LC{\omega }^2=1$» et «$RC\omega =1$».

Modèle:AlDéterminer les caractéristiques du générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. ci-contre en complexe associé au r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ entre $F$ et $G$ $\{$c'est-à-dire f.e.m. instantanée complexe de Thévenin $\underset{\_}{e_{\text{Th}}}(t)$ et impédance complexe de Thévenin $\underset{\_}{z_{\text{Th}}}(j\omega )\}$ en supposant que le R.D.L.A. délivre un courant sortant par $F$ et entrant par $G$ d'intensité instantanée complexe «$\underset{\_}{i}(t)=\underset{\_}{I}\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$» et d'intensité efficace complexe «$\underset{\_}{I}=I\exp \left(j{\phi }_i\right)$ $\{I$ étant l'intensité efficace et ${\phi }_i$ la phase à l'origine$\}$».

Ponts d'impédances

Modèle:AlOn étudie successivement les trois ponts universels d'impédances en r.s.f. de fréquence fixe $f=\frac{\omega }{2\pi }$ ;
Modèle:Alon admettra que le R.D.L.A. en complexe associée au r.s.f. aux bornes duquel est branché un détecteur est équivalent à un générateur de Thévenin complexe de « f.e.m. instantanée complexe s'annulant si $\underset{\_}{Z_1}(j\omega )\underset{\_}{Z_3}(j\omega )=\underset{\_}{Z_2}(j\omega )\underset{\_}{Z_4}(j\omega )$ à condition que $\left\{\begin{array}{c}\underset{\_}{Z_1}(j\omega )+\underset{\_}{Z_2}(j\omega )\ne 0\\ \text{et}\\ \underset{\_}{Z_3}(j\omega )+\underset{\_}{Z_4}(j\omega )\ne 0\end{array}\right\}$ avec $\underset{\_}{Z_1}(j\omega )$ et $\underset{\_}{Z_2}(j\omega )$ de part et d'autre d'une des bornes reliée au détecteur ainsi que $\underset{\_}{Z_3}(j\omega )$ et $\underset{\_}{Z_4}(j\omega )$ de part et d'autre de l'autre borne reliée au détecteur, les indices ${}_1,{}_2,{}_3,{}_4$ correspondant à la disposition des impédances en circulation dans le sens horaire $($ou trigonométrique direct$)$».

Pont de Sauty parallèle en r.s.f.

Schéma d'un pont universel de Sauty parallèle en r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ pour mesurer la capacité $C$ et la résistance de fuite $R$ d'un condensateur à l'aide d'un D.P. étalon variable $R_1$ en parallèle sur $C_1$

Modèle:AlLe 1^er pont est le pont de Sauty parallèle : $($voir schéma ci-contre$)$ ce pont $($de type « P/Q »$)$ sert à mesurer la capacité $C$ d'un condensateur avec résistance de fuite $R$, à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance $R_1$ variable et d'un condensateur $($parfait$)$ étalon de capacité variable $C_1$ monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.

Modèle:AlModèle:TransparentVérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin en complexe associée au r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ et

Modèle:AlModèle:Transparentdéterminer les valeurs de $C$ et de $R$ du condensateur étudié en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe.

Modèle:Solution

Pont de Maxwell en r.s.f.

Schéma d'un pont universel de Modèle:Nobr en r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ pour mesurer l'inductance propre $L$ et la résistance $R$ d'une bobine à l'aide d'un D.P. étalon variable $R_1$ en parallèle sur $C_1$

Modèle:AlLe 2^ème pont est le pont de Maxwell : $($voir schéma ci-contre$)$ ce pont $($de type « PQ »$)$ sert à mesurer l'inductance propre $L$ et la résistance $R$ d'une bobine, à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance $R_1$ variable et d'un condensateur $($parfait$)$ étalon de capacité variable $C_1$ monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.

Modèle:AlModèle:TransparentVérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin en complexe associée au r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ et

Modèle:AlModèle:Transparentdéterminer les valeurs de $L$ et de $R$ de la bobine étudiée en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe.

Modèle:Solution

Pont de Robinson en r.s.f.

Schéma d'un pont universel de Modèle:Nobr en r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ pour mesurer la fréquence $f$ à l'aide deux D.P.L. étalon, l'un composé d'un conducteur ohmique variable de résistance $R_1$ en série avec un condensateur de capacité fixe $C_1$, l'autre composé des mêmes éléments étalon montés en parallèle, les deux résistances restant couplées dans leur variation

Modèle:AlLe 3^ème pont est le pont de Robinson : $($voir schéma ci-contre$)$ ce pont $($de type « P/Q », sert à mesurer la fréquence à l'aide d'une part d'un conducteur ohmique étalon de résistance $R_1$ variable et d'un condensateur $($parfait$)$ étalon de capacité fixe $C_1$ monté en parallèle sur une même branche et d'autre part d'un même conducteur ohmique étalon de résistance $R_1$ variable $($les deux résistances $R_1$ restant couplées dans leur variation$)$ et d'un condensateur $($parfait$)$ étalon de capacité fixe $C_1$ monté en série sur une même autre branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.

Modèle:AlModèle:TransparentVérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin en complexe associée au r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ et

Modèle:AlModèle:Transparentdéterminer la valeur de la fréquence $f$ en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe.

Modèle:Solution