Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Battements

Addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements

Modèle:AlOn considère deux ondes électriques de grandeur vibrante « la tension aux bornes de deux G.B.F. différents » de fréquences très voisines,
Modèle:AlModèle:Transparentl'une de fréquence «$f_1=1,00kHz$» et d'amplitude «$U_{m,1}=1,0V$»,
Modèle:AlModèle:Transparentl'autre de fréquence «$f_2=1,05kHz$» et d'amplitude «$U_{m,2}=1,0V$» ;
Modèle:Alon observe chaque tension sur une voie différente de l'oscilloscope numérique et on visualise la somme de ces deux tensions grâce à l'opérateur mathématique « addition » disponible sur l'oscilloscope ;
Modèle:Alon observe le 1^er oscillogramme ci-dessous dans lequel «$u_1(t)$ est en rouge », «$u_2(t)$ en bleu clair » et «$u_1(t)+u_2(t)$ en noir » à la suite duquel est représenté
Modèle:AlModèle:Transparentun 2^ème oscillogramme dans lequel n'est laissé, pour une meilleur lisibilité de l'écran, que le signal résultant $\{$dans ce dernier oscillogramme a été ajoutée, en rouge, l'« enveloppe supérieure » du signal résultant $($c.-à-d. la courbe reliant les maxima de ce dernier$)$, l'« enveloppe inférieure » du signal résultant Modèle:Nobr la courbe reliant les minima du signal résultant$)$, n'étant pas représentée$\}$.

Observation de deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et de même amplitude simultanément à leur somme

Observation de battements entre deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et de même amplitude,
modulation d'amplitude entre $0$ et $2$ fois l'amplitude

Modèle:AlOn constate que, pour certains intervalles de temps $[$au voisinage de $t=0$ et de $t=20ms]$, les tensions de fréquences très voisines étant quasiment en phase,
Modèle:AlModèle:Transparentl'« amplitude » de l'onde résultante est maximale égale à «$U_{m,1}+U_{m,2}=2,0V$» alors que
Modèle:AlModèle:Transparentpour certains autres intervalles de temps $[$au voisinage de $t=10ms]$, elles sont quasiment en opposition de phase et par suite
Modèle:AlModèle:Transparentl'« amplitude » de l'onde résultante est minimale égale à «$U_{m,1}-U_{m,2}=0V$» ;
Modèle:All'onde résultante est « pseudo-sinusoïdale » de fréquence $\simeq 1,0kHz$  avec une modulation d'« amplitude » à la fréquence $\simeq 50Hz$ ,
Modèle:AlModèle:Transparentl'« amplitude » variant entre «$U_{m,1}-U_{m,2}=0V$» et «$U_{m,1}+U_{m,2}=2,0V$» .

Modèle:Définition Modèle:AlIl n'est pas nécessaire que les deux signaux soient de même amplitude pour réaliser des battements entre eux, il suffit qu'ils soient de fréquences très voisines ;
Modèle:Alci-dessous un 1^er oscillogramme présentant des battements entre des signaux sinusoïdaux $u_1(t)$ de fréquence $1,00kHz$ et d'amplitude $2,0V$ $($en rouge sur l'oscillogramme$)$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$u_2(t)$ de fréquence $1,05kHz$ et d'amplitude $1,0V$ $($en bleu sur l'oscillogramme$)$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentla fréquence des battements $($en noir sur l'oscillogramme$)$ est toujours la différence des fréquences mais
Modèle:AlModèle:Transparentla « pseudo-amplitude » varie maintenant entre $U_{m,1}-U_{m,2}=1,0V$ et $U_{m,1}+U_{m,2}=3,0V$ à la suite duquel est représenté
Modèle:AlModèle:Transparentun 2^ème oscillogramme dans lequel n'est laissé, pour une meilleur lisibilité de l'écran, que le signal résultant $\{$avec l'ajout, en rouge, d'une approximation de l'« enveloppe supérieure » du signal résultant $($c.-à-d. la courbe reliant les maxima de ce dernier$)$, l'« enveloppe inférieure » du signal résultant $($c.-à-d. la courbe reliant les minima du signal résultant$)$, n'étant pas représentée$\}$.

Observation de deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et d'amplitudes différentes simultanément à leur somme

Observation de battements entre deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et d'amplitudes différentes,
modulation d'amplitude entre la valeur absolue de la différence des amplitudes et la somme des amplitudes

Interprétation de l'onde résultante comme une onde pseudo-sinusoïdale de pseudo-amplitude à variation lente et périodique, fréquence de battements

Battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude

Modèle:AlOn considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et de même amplitude «$\left[\begin{array}{c}{s}_1(t)=S_m\cos (2\pi f_{1}t+{\phi }_1)\\ s_2(t)=S_m\cos (2\pi f_{2}t+{\phi }_2)\end{array}\right]$» avec «$f_2>f_1$» ;
Modèle:Alle signal résultant «$s_{\text{tot}}(t)=s_1(t)+s_2(t)=S_m[\cos (2\pi f_{1}t+{\phi }_1)+\cos (2\pi f_{2}t+{\phi }_2)]$» se réécrit, à l'aide de la formule de trigonométrie transformant une somme de cosinus en un produit de cosinus «$\cos (p)+\cos (q)=2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)$» , utilisée dans le but de faire apparaître un produit de fonctions du temps dont l'une varierait nettement plus lentement que l'autre,
Modèle:AlModèle:Transparent«$s_{\text{tot}}(t)=2S_m\cos (2\pi \frac{f_1+f_2}{2}t+\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2})\cos (2\pi \frac{f_1-f_2}{2}t+\frac{{\phi }_1-{\phi }_2}{2})$» ;

Modèle:Alle 1^er facteur en cosinus «$\cos (2\pi \frac{f_1+f_2}{2}t+\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2})$» variant plus rapidement que le 2^nd «$\cos (2\pi \frac{f_1-f_2}{2}t+\frac{{\phi }_1-{\phi }_2}{2})$» $\{$«$\frac{f_1+f_2}{2}$ très grande par rapport à $\left|\frac{f_1-f_2}{2}\right|$»$\}$, le 2^nd facteur «$\cos (2\pi \frac{f_1-f_2}{2}t+\frac{{\phi }_1-{\phi }_2}{2})$» peut être considéré comme « quasi constant » pendant une période de variation du 1^er «$\cos (2\pi \frac{f_1+f_2}{2}t+\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2})$», d'où la réécriture du signal résultant en introduisant la « grandeur $S_{m,\text{tot}}(t)=2S_m\cos (2\pi \frac{f_1-f_2}{2}t+\frac{{\phi }_1-{\phi }_2}{2})$ quasi constante sur la période $T_{\text{résult}}=\frac{1}{f_{\text{moy}}}$ avec $f_{\text{moy}}=\frac{f_1+f_2}{2}$» selon
Modèle:AlModèle:Transparent«$s_{\text{tot}}(t)=S_{m,\text{tot}}(t)\cos (2\pi \frac{f_1+f_2}{2}t+\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2})$» avec «$S_{m,\text{tot}}(t)$ qui se réécrit $S_{m,\text{tot}}(t)=2S_m\cos (2\pi \frac{f_2-f_1}{2}t+\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2})$»  ;
Modèle:Alle signal résultant est donc « pseudo-sinusoïdal » de «$($pseudo-$)$fréquence $f_{\text{résult}}=\frac{f_1+f_2}{2}$» et
Modèle:AlModèle:Transparentde « pseudo-amplitude $|S_{m,\text{tot}}(t)|=2S_m|\cos (2\pi \frac{f_2-f_1}{2}t+\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2})|$» 
Modèle:AlModèle:Transparentvariant à la fréquence dite des battements «$f_{\text{battements}}=f_2-f_1$».

Modèle:AlRemarque $⇝$ Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : reprenant les signaux de même amplitude du paragraphe « addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements » plus haut dans ce chapitre «$s_1(t)$ et $s_2(t)$», de « fréquences $\left\{\begin{array}{c}{f}_1=1,00kHz\\ f_2=1,05kHz\end{array}\right\}$», d'« amplitude commune $S_m=1,0V$» et « en phase $\left\{\begin{array}{c}{\phi }_1=0\\ {\phi }_2=0\end{array}\right\}$», on constate :

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$pour «$t\in \left[0\text{;}10ms\right]$», «$S_{m,\text{tot}}(t)=2S_m\cos \left(2\pi \frac{f_2-f_1}{2}t\right)>0$ représente la pseudo-amplitude »,
Modèle:AlModèle:Transparentle contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se fait aux instants «$t_p$ vérifiant
Modèle:AlModèle:Transparent$\cos \left(2\pi \frac{f_1+f_2}{2}{t}_p\right)=1$»,

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$pour «$t\in \left[10ms\text{;}30ms\right]$», «$S_{m,\text{tot}}(t)=2S_m\cos \left(2\pi \frac{f_2-f_1}{2}t\right)<0$ $\Rightarrow$ la pseudo-amplitude $-S_{m,\text{tot}}(t)$»,
Modèle:AlModèle:Transparentle contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se fait aux instants «${t^{\prime }}_q$ vérifiant
Modèle:AlModèle:Transparent$\cos \left(2\pi \frac{f_1+f_2}{2}{t^{\prime }}_q\right)=-1$»,

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$pour «$t\in \left[30ms\text{;}40ms\right]$», «$S_{m,\text{tot}}(t)=2S_m\cos \left(2\pi \frac{f_2-f_1}{2}t\right)>0$ est de nouveau la pseudo-amplitude »,
Modèle:AlModèle:Transparentle contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se fait aux instants «$t_p$ vérifiant
Modèle:AlModèle:Transparent$\cos \left(2\pi \frac{f_1+f_2}{2}{t}_p\right)=1$» ;

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$pour «$t>40ms$» les contacts du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se déterminent comme précédemment, le phénomène étant périodique de période $40ms$ $\{$en effet la fréquence de $S_{m,\text{tot}}(t)=2S_m\cos \left(2\pi \frac{f_2-f_1}{2}t\right)$ étant $\frac{f_2-f_1}{2}=25Hz$ est de période $40ms$ $\Rightarrow$ la pseudo-amplitude $|S_{m,\text{tot}}(t)|$ $=2S_m|\cos \left(2\pi \frac{f_2-f_1}{2}t\right)|$ est de période $20ms$ $($correspondant aux deux phases successives étudiées ci-dessus$)$, son inverse définissant la fréquence des battements $f_2-f_1=50Hz\}$.

Battements entre deux signaux sinusoïdaux d'amplitudes différentes

Modèle:AlOn considère maintenant deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et d'amplitudes différentes «$\left[\begin{array}{c}{s}_1(t)=S_{m,1}\cos (2\pi f_{1}t+{\phi }_1)\\ s_2(t)=S_{m,2}\cos (2\pi f_{2}t+{\phi }_2)\end{array}\right]$» avec «$f_2>f_1$» ;
Modèle:Alle signal résultant «$s_{\text{tot}}(t)=s_1(t)+s_2(t)=S_{m,1}\cos (2\pi f_{1}t+{\phi }_1)+S_{m,2}\cos (2\pi f_{1}t+{\phi }_1)$» ne s'acquière plus par « utilisation de la trigonométrie »  mais
Modèle:AlModèle:Transparentpeut s'obtenir par « diagramme de Fresnel à l'instant $t$» bien que cette méthode soit, a priori, réservée à l'addition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, ou
Modèle:AlModèle:Transparentpar « grandeurs instantanées complexes »  ;

Détermination de la pseudo-amplitude du signal résultant de deux signaux sinusoïdaux de fréquences très voisines et d'amplitudes différentes par tracé du diagramme de Fresnel relativement à un axe tournant à la vitesse angulaire du plus lent

Modèle:Alnous allons représenter le diagramme de Fresnel « relativement à un axe $\overrightarrow{O{x}^{\prime }}$ tournant à la même vitesse angulaire que le vecteur de Fresnel $\overrightarrow{S_1}(t)$  associé au signal $s_1(t)=S_{m,1}\cos (2\pi f_{1}t+{\phi }_1)$» $\Rightarrow$ «$\overrightarrow{S_1}(t)$fixe par rapport à$\overrightarrow{O{x}^{\prime }}$» avec l'« angle orienté $\hat{\{\overrightarrow{O{x}^{\prime }},\overrightarrow{S_1}(t)\}}={\phi }_1$» ;
Modèle:Alrelativement à cet axe $\overrightarrow{O{x}^{\prime }}$, le vecteur de Fresnel $\overrightarrow{S_2}(t)$ associé à l'autre signal $s_2(t)=S_{m,2}\cos (2\pi f_{2}t+{\phi }_2)$ lequel peut être réécrit selon $s_2(t)=S_{m,2}\cos \{2\pi f_{1}t+[2\pi (f_2-f_1)t+{\phi }_2]\}$ tourne lentement à la vitesse angulaire$2\pi (f_2-f_1)$ $\{$en effet «$2\pi (f_2-f_1)\ll 2\pi f_1$»$\}$ avec l'« angle orienté $\hat{\{\overrightarrow{O{x}^{\prime }},\overrightarrow{S_2}(t)\}}=2\pi (f_2-f_1)t+{\phi }_2$» :

Modèle:Alnous en déduisons l'angle que fait

$\overrightarrow{S_2}(t)$

avec

$\overrightarrow{S_1}(t)$

à la date

$t$

«

$\hat{\{\overrightarrow{S_1}(t)\text{;}\overrightarrow{S_2}(t)\}}=\hat{\{\overrightarrow{O{x}^{\prime }},\overrightarrow{S_2}(t)\}}-\hat{\{\overrightarrow{O{x}^{\prime }},\overrightarrow{S_1}(t)\}}$

» noté

$\alpha (t)$

sur le diagramme ci-contre «

$\alpha (t)=[2\pi (f_2-f_1)t+{\phi }_2]-{\phi }_1$

» ou «

$\alpha (t)=2\pi (f_2-f_1)t+({\phi }_2-{\phi }_1)$

»
Modèle:AlModèle:Transparentet la norme du vecteur de Fresnel

$\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t)=\overrightarrow{S_1}(t)+\overrightarrow{S_2}(t)$

en formant

${[\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t)]}^2={[\overrightarrow{S_1}(t)+\overrightarrow{S_2}(t)]}^2=$ ${\overrightarrow{S_1}}^2+{\overrightarrow{S_2}}^2+2\overrightarrow{S_1}(t)\cdot \overrightarrow{S_2}(t)$

ou

${[\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t)]}^2=S_{m,1}^2+S_{m,2}^2+2S_{m,1}{S}_{m,2}\cos [\alpha (t)]$

 soit finalement

«$\Vert \overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t)\Vert =\sqrt{S_{m,1}^2+S_{m,2}^2+2S_{m,1}{S}_{m,2}\cos [2\pi (f_2-f_1)t+({\phi }_2-{\phi }_1)]}$» ;

Modèle:Alnous interprétons le diagramme de Fresnel relativement à l'axe $\overrightarrow{O{x}^{\prime }}$ tournant à la vitesse angulaire $2\pi f_1$ par rapport à l'axe $\overrightarrow{Ox}$ de référence en observant que
Modèle:AlModèle:Transparentle signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence $f_1$ et de « pseudo-amplitude » «${𝒮}_{m,\text{tot}}(t)=\Vert \overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t)\Vert$» soit
Modèle:AlModèle:Transparent«${𝒮}_{m,\text{tot}}(t)=\sqrt{S_{m,1}^2+S_{m,2}^2+2S_{m,1}{S}_{m,2}\cos [2\pi (f_2-f_1)t+({\phi }_2-{\phi }_1)]}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentvariant « périodiquement »  à la fréquence «$f_{\text{battements}}=f_2-f_1$» des battements
Modèle:AlModèle:Transparententre les valeurs minimale $|S_{m,1}-S_{m,2}|$ correspondant aux instants $t_{\text{min},n}$ et
Modèle:AlModèle:Transparentmaximale $S_{m,1}+S_{m,2}$ correspondant aux instants $t_{\text{max},n}$ ;

Modèle:Alnous pouvons également déterminer l'angle $\beta (t)$ que fait $\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t)$ avec $\overrightarrow{O{x}^{\prime }}$ à l'instant $t$ c.-à-d. «$\beta (t)=\hat{\{\overrightarrow{O{x}^{\prime }},\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t)\}}$»
Modèle:AlModèle:Transparentpar projection de $\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t)=\overrightarrow{S_1}(t)+\overrightarrow{S_2}(t)$ sur $\overrightarrow{O{x}^{\prime }}$ et sur $\overrightarrow{O{y}^{\prime }}$ directement $\perp$ à $\overrightarrow{O{x}^{\prime }}$ $($non représenté sur le diagramme ci-dessus$)$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left\{\begin{array}{c}{𝒮}_{m,\text{tot}}(t)\cos [\beta (t)]=S_{m,1}\cos ({\phi }_1)+S_{m,2}\cos [\alpha (t)+{\phi }_1]\\ {𝒮}_{m,\text{tot}}(t)\sin [\beta (t)]=S_{m,1}\sin ({\phi }_1)+S_{m,2}\sin [\alpha (t)+{\phi }_1]\end{array}\right\}$» ou, en explicitant ${𝒮}_{m,\text{tot}}(t)$ et $\alpha (t)+{\phi }_1$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left\{\begin{array}{c}\cos [\beta (t)]=\frac{S_{m,1}\cos ({\phi }_1)+S_{m,2}\cos [2\pi (f_2-f_1)t+{\phi }_2]}{\sqrt{S_{m,1}^2+S_{m,2}^2+2S_{m,1}{S}_{m,2}\cos [2\pi (f_2-f_1)t+({\phi }_2-{\phi }_1)]}}\\ \sin [\beta (t)]=\frac{S_{m,1}\sin ({\phi }_1)+S_{m,2}\sin [2\pi (f_2-f_1)t+{\phi }_2]}{\sqrt{S_{m,1}^2+S_{m,2}^2+2S_{m,1}{S}_{m,2}\cos [2\pi (f_2-f_1)t+({\phi }_2-{\phi }_1)]}}\end{array}\right\}$» d'où une valeur de $\beta (t)$ à $2\pi$ près et par suite
Modèle:AlModèle:Transparentl'expression du signal résultant selon «$s_{\text{tot}}(t)={𝒮}_{m,\text{tot}}(t)\cos [2\pi f_{1}t+\beta (t)]$».

Modèle:AlRemarque : De façon à ne pas particulariser le signal

$(1)$

relativement au signal

$(2)$

, nous transformons l'argument du cosinus de l'expression de

$s_{\text{tot}}(t)={𝒮}_{m,\text{tot}}(t)\cos [2\pi f_{1}t+\beta (t)]$

selon
Modèle:AlModèle:Transparent«

$2\pi f_{1}t+\beta (t)=2\pi \frac{f_1+f_2}{2}t-2\pi \frac{f_2-f_1}{2}t+\beta (t)$

» ou, en définissant la « fréquence moyenne

$f_{\text{moy}}=\frac{f_1+f_2}{2}$

»,
Modèle:AlModèle:Transparent«

$2\pi f_{1}t+\beta (t)=2\pi f_{\text{moy}}t+{\phi }_{\text{tot}}(t)$

» où «

${\phi }_{\text{tot}}(t)=\beta (t)-2\pi \frac{f_2-f_1}{2}t$

représente la pseudo-phase initiale résultante » et finalement le signal résultant se réécrit

«$s_{\text{tot}}(t)={𝒮}_{m,\text{tot}}(t)\cos [2\pi f_{\text{moy}}t+{\phi }_{\text{tot}}(t)]$».

Détermination de la différence relative de fréquences à partir d'un enregistrement de battements

Modèle:AlUne fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on trace l'enveloppe supérieure $($ou l'enveloppe inférieure$)$ et
Modèle:AlModèle:Transparenton détermine la période de cette dernière $($ou la pseudo-période dans le cas où l'amortissement n'est pas négligeable$)$ définissant
Modèle:AlModèle:Transparentla période des battements $($ou pseudo-période des battements en cas de présence d'amortissement$)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentson inverse, la « fréquence des battements $f_{\text{battements}}=|f_2-f_1|$» $($ou pseudo-fréquence si présence d'amortissement$)$ ;

Modèle:AlModèle:Transparenton peut aussi déterminer la pseudo-période du signal résultant ainsi que son inverse la « pseudo-fréquence $f_{\text{résult}}=\frac{f_1+f_2}{2}$» ;

Modèle:AlModèle:Transparenton en déduit le rapport «$\frac{f_{\text{battements}}}{f_{\text{résult}}}=\frac{|f_2-f_1|}{\frac{f_1+f_2}{2}}$» lequel se réécrit, en notant «$\mathrm{\Delta }f=f_2-f_1$», «$\frac{f_{\text{battements}}}{f_{\text{résult}}}\simeq \frac{|\mathrm{\Delta }f|}{f_1}\simeq \frac{|\mathrm{\Delta }f|}{f_2}$».

Observation de battements entre signaux émis par deux diapasons frappés simultanément, les signaux étant captés par un microphone positionné à égale distance des deux diapasons

Modèle:AlExpérience : On enregistre, sur un oscilloscope numérique, le signal reçu par un microphone situé à égale distance de deux diapasons vibrant a priori à la même fréquence $f_0=264Hz$  et qui ont été frappés simultanément ;
Modèle:AlModèle:Transparentsi les diapasons vibrent exactement à la même fréquence on n'observera pas de battements, l'observation de ces derniers prouvant un décalage en fréquences des diapasons ;

Modèle:AlModèle:Transparentdéterminant, sur l'enregistrement, les instants pour lesquels l'amplitude des battements est minimale, on en déduit la période puis la fréquence des battements :

Modèle:AlModèle:Transparentci-contre les instants d'amplitude minimale sont :
Modèle:AlModèle:Transparent«$t_1=0,78s$», «$t_2=4,23s$» et «$t_3=7,72s$»
Modèle:AlModèle:Transparentdonnant une période de battements «$T_{\text{battements}}\simeq 3,47s$» et par suite
Modèle:AlModèle:Transparentune fréquence de battements «$f_{\text{battements}}\simeq 0,29Hz$» d'où
Modèle:AlModèle:Transparentun écart relatif de fréquences des diapasons de
Modèle:AlModèle:Transparent«$\frac{|\mathrm{\Delta }f|}{f_0}\simeq \frac{f_{\text{battements}}}{f_{\text{résult}}}\simeq \frac{0,29}{264}$»  soit «$\frac{|\mathrm{\Delta }f|}{f_0}\simeq 0,1\mathrm{\%}$».

Détermination qualitative de la différence relative de fréquences à partir d'une observation sensorielle directe

Modèle:AlDans le cas d'ondes sonores ce phénomène est directement perceptible, car l'intensité acoustique $I$  perçue par une oreille humaine est$\propto$au carré de l'amplitude ; ainsi lorsqu'on superpose deux sons de fréquences $f_1=440Hz$ et $f_2=441Hz$, on entend très distinctement la « modulation du niveau acoustique à la fréquence de battements $f_{\text{battements}}=1Hz$» $\{$en effet, si les deux sons ont la même intensité acoustique, les battements entre les deux sons se matérialisent par une modulation de niveau acoustique de période $1,0s$ allant d'une intensité acoustique nulle à une intensité acoustique quatre fois plus intense que celle des sons originaux $($l'amplitude résultante maximale étant deux fois l'amplitude de chaque son mais l'intensité acoustique étant le carré de l'amplitude$\left)\right\}$ ;

Modèle:Alle phénomène de battements est utilisé pour accorder certains instruments de musique, par exemple un piano : certaines notes sont produites par deux ou trois cordes qui doivent vibrer exactement à la même fréquence $($et de façon sinusoïdale$)$, quand on les fait vibrer simultanément on réalise des battements si elles ne vibrent pas à la même fréquence, on doit alors modifier la tension de l'une des cordes pour diminuer la fréquence des battements jusqu'à ce que cette dernière devienne nulle, assurant alors que les deux cordes vibrent effectivement à la même fréquence.

Complément : détermination de la pseudo-amplitude de l'onde résultante instantanée en fonction du déphasage (lentement variable) par pseudo-amplitude complexe

Modèle:AlNous avons précédemment distingué, dans la résolution, le cas de battements entre signaux sinusoïdaux de même amplitude et
Modèle:AlModèle:Transparententre signaux d'amplitudes différentes,
Modèle:AlModèle:Transparentle 1^er ayant été résolu par utilisation des formules de trigonométrie transformant une somme de fonctions sinusoïdales en un produit,
Modèle:AlModèle:Transparentle 2^nd, ne permettant pas l'utilisation de ces formules de trigonométrie, ayant fait appel à la notion étendue de vecteurs de Fresnel tournants,
Modèle:AlModèle:Transparentméthode conduisant à la construction d'un diagramme de Fresnel relativement à un axe $\overrightarrow{O{x}^{\prime }}$ tournant à la vitesse angulaire la plus faible, mais
Modèle:AlModèle:Transparentil aurait été aussi possible de construire un diagramme de Fresnel de ce type dans le cas de battements entre signaux sinusoïdaux de même amplitude ;

Modèle:Alla méthode de construction d'un diagramme de Fresnel à l'instant $t$ et celle d'utilisation des grandeurs instantanées complexes étant deux facettes d'une même méthode, il est possible d'adapter, dans le cas de battements entre signaux sinusoïdaux de fréquences très voisines, la méthode de construction d'un diagramme de Fresnel relativement à un axe $\overrightarrow{O{x}^{\prime }}$ tournant à la vitesse angulaire la plus faible, de façon à travailler directement sur les affixes des vecteurs de Fresnel , c'est le « but des sous paragraphes suivants ».

Battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude

Modèle:AlOn considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et de même amplitude «$\left[\begin{array}{c}{s}_1(t)=S_m\cos (2\pi f_{1}t+{\phi }_1)\\ s_2(t)=S_m\cos (2\pi f_{2}t+{\phi }_2)\end{array}\right]$» avec «$f_2>f_1$» ;
Modèle:Alaux « signaux sinusoïdaux $\left\{\begin{array}{c}{s}_1(t)\\ s_2(t)\end{array}\right\}$» on fait correspondre les « grandeurs instantanées complexes $\left\{\begin{array}{c}\underset{\_}{s_1}(t)=S_m\exp [i(2\pi f_{1}t+{\phi }_1)]\\ \underset{\_}{s_2}(t)=S_m\exp [i(2\pi f_{2}t+{\phi }_2)]\end{array}\right\}$»  d'où
Modèle:Alle signal résultant «$s_{\text{tot}}(t)=s_1(t)+s_2(t)$» étant défini comme «$\mathrm{\Re }[\underset{\_}{s_1}(t)+\underset{\_}{s_2}(t)]$», on est amené à « évaluer la somme des grandeurs instantanées complexes $\underset{\_}{s_1}(t)+\underset{\_}{s_2}(t)$» mais $\dots$

Modèle:Alavant de faire cela, utilisons le fait que les « fréquences $f_1$ et $f_2$ sont très voisines, proches de leur moyenne $f_{\text{moy}}=\frac{f_1+f_2}{2}$», en écrivant «$\left\{\begin{array}{c}{f}_1=\frac{f_1+f_2}{2}-\frac{f_2-f_1}{2}\\ f_2=\frac{f_1+f_2}{2}+\frac{f_2-f_1}{2}\end{array}\right\}$» ou,
Modèle:AlModèle:Transparentavec «$\mathrm{\Delta }f=f_2-f_1$», «$\left\{\begin{array}{c}{f}_1=f_{\text{moy}}-\frac{\mathrm{\Delta }f}{2}\\ f_2=f_{\text{moy}}+\frac{\mathrm{\Delta }f}{2}\end{array}\right\}$» puis

Modèle:AlModèle:Transparentréécrivons chaque grandeur instantanée complexe sous la forme d'un produit d'une grandeur exponentielle complexe de grande fréquence $($égale à la fréquence moyenne$)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentd'un facteur complexe variant lentement avec le temps $($appelé « pseudo-amplitude complexe »$)$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left\{\begin{array}{c}\underset{\_}{s_1}(t)=S_m\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]\exp \left[i(-2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_1)\right]\\ \underset{\_}{s_2}(t)=S_m\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]\exp \left[i(2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_2)\right]\end{array}\right\}$» ou «$\left\{\begin{array}{ccc}\underset{\_}{s_1}(t)& =& \underset{\_}{{𝒮}_{m,1}}(t)\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]\\ \underset{\_}{s_2}(t)& =& \underset{\_}{{𝒮}_{m,2}}(t)\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]\end{array}\right\}$»
Modèle:Transparentavec «$\left\{\begin{array}{ccc}\underset{\_}{{𝒮}_{m,1}}(t)& =& S_m\exp \left[i(-2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_1)\right]\\ \underset{\_}{{𝒮}_{m,2}}(t)& =& S_m\exp \left[i(2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_2)\right]\end{array}\right\}$» les « pseudo-amplitudes complexes » associées ;

Modèle:Alpuis, formons la somme des grandeurs instantanées complexes «$\underset{\_}{s_1}(t)+\underset{\_}{s_2}(t)=\underset{\_}{{𝒮}_{m,1}}(t)\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]+\underset{\_}{{𝒮}_{m,2}}(t)\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]=[\underset{\_}{{𝒮}_{m,1}}(t)+\underset{\_}{{𝒮}_{m,2}}(t)]\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]$» c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentégale à une grandeur instantanée complexe de fréquence égale à la fréquence moyenne $f_{\text{moy}}$ et
Modèle:AlModèle:Transparentde « pseudo-amplitude complexe » «$\underset{\_}{{𝒮}_{m,1}}(t)+\underset{\_}{{𝒮}_{m,2}}(t)$» c.-à-d. la somme des « pseudo-amplitudes complexes » «$S_m\exp \left[i(-2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_1)\right]+S_m\exp \left[i(2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_2)\right]=S_m\{\exp \left[i(-2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_1)\right]+\exp \left[i(2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_2)\right]\}$» ;

Modèle:AlModèle:Transparenttransformons la « pseudo-amplitude complexe résultante » en décomposant les phases initiales comme fait pour les fréquences soit «$\left\{\begin{array}{c}{\phi }_1=\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2}-\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}={\phi }_{\text{moy}}-\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2}\\ {\phi }_2=\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2}+\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}={\phi }_{\text{moy}}+\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2}\end{array}\right\}$»
Modèle:AlModèle:Transparentavec «${\phi }_{\text{moy}}=\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2}$» et «$\mathrm{\Delta }\phi ={\phi }_2-{\phi }_1$» d'où
Modèle:AlModèle:Transparentla réécriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » «$\underset{\_}{{𝒮}_{m,1}}(t)+\underset{\_}{{𝒮}_{m,2}}(t)=S_m\{\exp \left[i(-2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_{\text{moy}}-\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2})\right]+\exp \left[i(2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_{\text{moy}}+\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2})\right]\}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=S_m\exp \left[i{\phi }_{\text{moy}}\right]\{\exp [-i(2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2})]+\exp \left[i(2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2})\right]\}$ ou encore
Modèle:AlModèle:Transparent$=S_m\exp \left[i{\phi }_{\text{moy}}\right]\{2\cos (2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2})\}$» avec la « formule d'Euler du cosinus »  d'où
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{\_}{{𝒮}_{m,1}}(t)+\underset{\_}{{𝒮}_{m,2}}(t)=2S_m\cos [2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}]\exp \left[i\left(\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2}\right)\right]$ notée $\underset{\_}{{𝒮}_{m,\text{tot}}}(t)$»
Modèle:AlModèle:Transparentdont le module définit la « pseudo-amplitude résultante$|S_{m,\text{tot}}(t)|=2S_m|\cos [2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}]|$»Modèle:, et
Modèle:AlModèle:Transparentdont l'argument définit la « pseudo-phase initiale ${\phi }_{\text{tot}}(t)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2}& \text{pour }\cos [2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}]>0\\ \frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2}\pm \pi & \text{pour }\cos [2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}]<0\end{array}\right\}$» ;

Modèle:Alfinalement le signal résultant s'écrivant «$s_{\text{tot}}(t)=s_1(t)+s_2(t)=|S_{m,\text{tot}}(t)|\cos [2\pi f_{\text{moy}}t+{\phi }_{\text{tot}}(t)]$» est identique au résultat trouvé par utilisation directe des formules trigonométriques
Modèle:AlModèle:Transparent«$s_{\text{tot}}(t)=s_1(t)+s_2(t)=S_{m,\text{tot}}(t)\cos (2\pi \frac{f_1+f_2}{2}t+\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2})$» avec «$S_{m,\text{tot}}(t)=2S_m\cos (2\pi \frac{f_2-f_1}{2}t+\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2})$» mais
Modèle:AlModèle:Transparentla forme sous laquelle est obtenu le résultat par pseudo-amplitudes complexes nécessitant une discussion est moins intéressante et il aurait été préférable, pour obtenir le signal résultant, d'expliciter la grandeur instantanée complexe résultante puis d'en prendre la partie réelle soit
Modèle:AlModèle:Transparentla grandeur instantanée complexe résultante s'écrivant «$\underset{\_}{s_{\text{tot}}}(t)=\underset{\_}{{𝒮}_{m,\text{tot}}}(t)\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]=\{2S_m\cos [2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}]\exp \left[i\left(\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2}\right)\right]\}\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]$» en y reportant l'expression de la pseudo-amplitude complexe résultante trouvée précédemment avant discussion $\underset{\_}{{𝒮}_{m,\text{tot}}}(t)=2S_m\cos [2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}]\exp \left[i\left(\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2}\right)\right]$ d'où l'expression de la grandeur instantanée complexe résultante «$\underset{\_}{s_{\text{tot}}}(t)=2S_m\cos [2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}]\exp \left[i(2\pi f_{\text{moy}}t+\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2})\right]$» dont on tire, en en prenant la partie réelle,
Modèle:AlModèle:Transparentle signal résultant sous la forme «$s_{\text{tot}}(t)$ $=\mathrm{\Re }[\underset{\_}{s_{\text{tot}}}(t)]=2S_m\cos [2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}]\cos [2\pi f_{\text{moy}}t+\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2}]$».

Modèle:AlConclusion : on trouve effectivement un signal « pseudo-sinusoïdal » de fréquence égale à la « fréquence moyenne $f_{\text{moy}}=\frac{f_1+f_2}{2}$» et
Modèle:AlModèle:Transparentde pseudo-amplitude $|S_{m,\text{tot}}|=2S_m|\cos [2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}]|$ c.-à-d. une fonction redressée double alternance se réécrivant selon «$|S_{m,\text{tot}}|=2S_m|\cos [2\pi \frac{|f_2-f_1|}{2}t+\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}]|$» et définissant l'« enveloppe supérieure du signal résultant », « enveloppe variant à la fréquence des battements $f_{\text{battements}}=$ $|f_2-f_1|$ entre sa valeur minimale $0$ et sa valeur maximale $2S_m$».

Modèle:AlRemarque : bien que la « grandeur instantanée complexe résultante $\underset{\_}{s_{\text{tot}}}(t)=2S_m\cos [2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}]\exp \left[i(2\pi f_{\text{moy}}t+\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2})\right]$» soit
Modèle:AlModèle:Transparentl'« affixe d'un vecteur de Fresnel tournant $\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t)$ dans le diagramme de Fresnel à l'instant $t$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t)$ étant de direction fixe relativement à l'axe $\overrightarrow{O{x}^{\prime }}$ tournant à la vitesse angulaire $2\pi f_{\text{moy}}$» alors que
Modèle:AlModèle:Transparentle diagramme de Fresnel à l'instant $t$ dans le paragraphe « battements entre deux signaux d'amplitudes différentes » plus haut dans ce chapitre
Modèle:AlModèle:Transparentutilise des « vecteurs de Fresnel tournants repérés par rapport à un axe $\overrightarrow{O{x}^{\prime }}$ en rotation à la vitesse angulaire $2\pi f_1$»
Modèle:AlModèle:Transparentde façon à ce que le vecteur de Fresnel $\overrightarrow{S_1}(t)$ $\{$et non $\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t)\}$ soit de direction fixe,
Modèle:AlModèle:Transparentnous obtenons la même expression de signal résultant $\dots$

Modèle:AlModèle:TransparentPour qu'il y ait une correspondance exacte entre la méthode des grandeurs instantanées complexes et celle du diagramme de Fresnel à l'instant $t$, il aurait fallu choisir l'axe $\overrightarrow{O{x}^{\prime }}$ tournant à la vitesse angulaire moyenne $2\pi f_{\text{moy}}$ mais la conséquence aurait été qu'aucun des deux vecteurs de Fresnel tournants $\overrightarrow{S_1}(t)$ et $\overrightarrow{S_2}(t)$ n'aurait été de direction fixe relativement à $\overrightarrow{O{x}^{\prime }}$ $\{\overrightarrow{S_2}(t)$ tournant dans le sens $+$ par rapport à $\overrightarrow{O{x}^{\prime }}$ à la vitesse angulaire $2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}=2\pi \frac{f_2-f_1}{2}$ et $\overrightarrow{S_1}(t)$ tournant dans le sens $-$ par rapport à $\overrightarrow{O{x}^{\prime }}$ à la vitesse angulaire opposée $-2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}=$ $-2\pi \frac{f_2-f_1}{2}$$\}$ et l'avantage de conserver une symétrie entre les deux signaux n'aurait pas compensé le désavantage de n'avoir plus aucun vecteur de Fresnel fixe $\dots$

Battements entre deux signaux sinusoïdaux d'amplitudes différentes

Modèle:AlOn considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et d'amplitudes différentes «$\left[\begin{array}{c}{s}_1(t)=S_{m,1}\cos (2\pi f_{1}t+{\phi }_1)\\ s_2(t)=S_{m,2}\cos (2\pi f_{2}t+{\phi }_2)\end{array}\right]$» avec «$f_2>f_1$» pour lesquels
Modèle:Alon peut réitérer la méthode exposée dans le paragraphe « battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude » plus haut dans ce chapitre en l'adaptant si besoin est ;

Modèle:Alaux « signaux sinusoïdaux $\left\{\begin{array}{c}{s}_1(t)\\ s_2(t)\end{array}\right\}$» on fait correspondre les « grandeurs instantanées complexes $\left\{\begin{array}{c}\underset{\_}{s_1}(t)=S_{m,1}\exp [i(2\pi f_{1}t+{\phi }_1)]\\ \underset{\_}{s_2}(t)=S_{m,2}\exp [i(2\pi f_{2}t+{\phi }_2)]\end{array}\right\}$» d'où
Modèle:Alle signal résultant «$s_{\text{tot}}(t)=s_1(t)+s_2(t)$» étant défini comme «$\mathrm{\Re }[\underset{\_}{s_1}(t)+\underset{\_}{s_2}(t)]$», on est donc amené à « évaluer la somme des grandeurs instantanées complexes $\underset{\_}{s_1}(t)+\underset{\_}{s_2}(t)$» ;

Modèle:Alcomme précédemment on transforme les fréquences selon «$\left\{\begin{array}{c}{f}_1=\frac{f_1+f_2}{2}-\frac{f_2-f_1}{2}\\ f_2=\frac{f_1+f_2}{2}+\frac{f_2-f_1}{2}\end{array}\right\}$», les « fréquences $\left\{\begin{array}{c}{f}_1\\ f_2\end{array}\right\}$ étant très voisines, proches de leur moyenne $f_{\text{moy}}=\frac{f_1+f_2}{2}$» ou,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left\{\begin{array}{c}{f}_1=f_{\text{moy}}-\frac{\mathrm{\Delta }f}{2}\\ f_2=f_{\text{moy}}+\frac{\mathrm{\Delta }f}{2}\end{array}\right\}$» en introduisant la différence de fréquence $\mathrm{\Delta }f=f_2-f_1$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenton peut alors réécrire les grandeurs instantanées complexes de façon plus symétrique selon «$\left\{\begin{array}{c}\underset{\_}{s_1}(t)=S_{m,1}\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]\exp \left[i(-2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_1)\right]\\ \underset{\_}{s_2}(t)=S_{m,2}\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]\exp \left[i(2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_2)\right]\end{array}\right\}$» ou,
Modèle:AlModèle:Transparenten introduisant «$\left\{\begin{array}{ccc}\underset{\_}{{𝒮}_{m,1}}(t)& =& S_{m,1}\exp \left[i(-2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_1)\right]\\ \underset{\_}{{𝒮}_{m,2}}(t)& =& S_{m,2}\exp \left[i(2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_2)\right]\end{array}\right\}$» les « pseudo-amplitudes complexes » associées,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left\{\begin{array}{ccc}\underset{\_}{s_1}(t)& =& \underset{\_}{{𝒮}_{m,1}}(t)\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]\\ \underset{\_}{s_2}(t)& =& \underset{\_}{{𝒮}_{m,2}}(t)\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]\end{array}\right\}$» ;

Modèle:Alensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes «$\underset{\_}{s_1}(t)+\underset{\_}{s_2}(t)=\underset{\_}{{𝒮}_{m,1}}(t)\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]+\underset{\_}{{𝒮}_{m,2}}(t)\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]=[\underset{\_}{{𝒮}_{m,1}}(t)+\underset{\_}{{𝒮}_{m,2}}(t)]\exp [i(2\pi f_{\text{moy}}t)]$»
Modèle:AlModèle:Transparentégale à une grandeur instantanée complexe de fréquence égale à la fréquence moyenne $f_{\text{moy}}$ et
Modèle:AlModèle:Transparentde « pseudo-amplitude complexe » «$\underset{\_}{{𝒮}_{m,\text{tot}}}(t)=\underset{\_}{{𝒮}_{m,1}}(t)+\underset{\_}{{𝒮}_{m,2}}(t)$» c.-à-d. la somme des « pseudo-amplitudes complexes associées à chaque grandeur instantanée complexe » «$\underset{\_}{{𝒮}_{m,\text{tot}}}(t)=S_{m,1}\exp \left[i(-2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_1)\right]+S_{m,2}\exp \left[i(2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_2)\right]$»
Modèle:AlModèle:Transparentdont le module définit la « pseudo-amplitude résultante » $|S_{m,\text{tot}}(t)|$ et
Modèle:AlModèle:Transparentdont l'argument définit la « pseudo-phase initiale résultante » ${\phi }_{\text{tot}}(t)$ ,
Modèle:AlModèle:Transparentle signal résultant pouvant alors être réécrit selon «$s_{\text{tot}}(t)=s_1(t)+s_2(t)=|S_{m,\text{tot}}(t)|\cos [2\pi f_{\text{moy}}t+{\phi }_{\text{tot}}(t)]$» ;

Modèle:Alfinalement les «$\left\{\begin{array}{c}\text{pseudo-amplitude résultante}\\ \text{pseudo-phase initiale résultante}\end{array}\right\}$» déterminées par $\left\{\begin{array}{c}\text{module}\\ \text{argument}\end{array}\right\}$ de «$\underset{\_}{{𝒮}_{m,\text{tot}}}(t)=S_{m,1}\exp \left[i(-2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_1)\right]+S_{m,2}\exp \left[i(2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_2)\right]$» valent :

• «$|S_{m,\text{tot}}|=|\underset{\_}{S_{m,\text{tot}}}(t)|=\sqrt{{|\underset{\_}{S_{m,\text{tot}}}(t)|}^2}=\sqrt{\underset{\_}{S_{m,\text{tot}}}(t){[\underset{\_}{S_{m,\text{tot}}}(t)]}^{*}}$» ou, avec $\left\{\begin{array}{c}\underset{\_}{S_{m,\text{tot}}}(t)=S_{m,1}\exp \left[i(-2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_1)\right]+S_{m,2}\exp \left[i(2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_2)\right]\\ {[\underset{\_}{S_{m,\text{tot}}}(t)]}^{*}=S_{m,1}\exp \left[i(2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t-{\phi }_1)\right]+S_{m,2}\exp \left[i(-2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t-{\phi }_2)\right]\end{array}\right\}$ et en développant «$|S_{m,\text{tot}}(t)|=\sqrt{S_{m,1}^2+S_{m,2}^2+S_{m,1}{S}_{m,2}\{\exp \left[i(-2\pi \mathrm{\Delta }ft+{\phi }_1-{\phi }_2)\right]+\exp \left[i(2\pi \mathrm{\Delta }ft-{\phi }_1+{\phi }_2)\right]\}}$» soit encore, avec la formule d'Euler définissant le cosinus, Modèle:Nobr $=\sqrt{S_{m,1}^2+S_{m,2}^2+2S_{m,1}{S}_{m,2}\cos [2\pi (\mathrm{\Delta }f)t-{\phi }_1+{\phi }_2]}$» établissant que la « pseudo-amplitude » $|S_{m,\text{tot}}(t)|$ de l'onde résultante « varie à la fréquence dite des battements égale à $f_{\text{battements}}=$ $\mathrm{\Delta }f=f_2-f_1$ de sa valeur minimale $|S_{m,1}-S_{m,2}|$ à sa valeur maximale $S_{m,1}+S_{m,2}$» ;
• «${\phi }_{\text{tot}}(t)$» nécessite l'écriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » sous sa forme algébrique, ceci donnant, après des transformations élémentaires, la forme algébrique de la « pseudo-amplitude complexe résultante » $\underset{\_}{S_{m,\text{tot}}}(t)=$ $[S_{m,1}\cos (2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t-{\phi }_1)+S_{m,2}\cos (2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_2)]+i[-S_{m,1}\sin (2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t-{\phi }_1)+S_{m,2}\sin (2\pi \frac{\mathrm{\Delta }f}{2}t+{\phi }_2)]$ dont on tire $\{\begin{array}{c}\cos [{\phi }_{\text{tot}}(t)]=\frac{S_{m,1}\cos [\pi (\mathrm{\Delta }f)t-{\phi }_1]+S_{m,2}\cos [\pi (\mathrm{\Delta }f)t+{\phi }_2]}{|S_{m,\text{tot}}(t)|}\\ \sin [{\phi }_{\text{tot}}(t)]=\frac{-S_{m,1}\sin [\pi (\mathrm{\Delta }f)t-{\phi }_1]+S_{m,2}\cos [\pi (\mathrm{\Delta }f)t+{\phi }_2]}{|S_{m,\text{tot}}(t)|}\end{array}$, ces deux expressions permettant de déterminer la « pseudo-phase initiale résultante » et de constater que celle-ci est également périodique de fréquence égale à celle des battements $\dots$