Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg

Dimension de l'atome d'hydrogène

Modèle:AlOn considère un atome d'hydrogène « sphérique » de taille caractéristique $a$ ;

Modèle:Alon admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome « $E ≃ \frac{ℏ^{2}}{2 m_{e} a^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_{0} a}$ »^[1] où

Modèle:Al Modèle:Transparent« $e ≃ 1, 60 1 0^{- 19} C$ est la charge élémentaire »,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $m_{e} ≃ 9, 11 1 0^{- 31} k g$ la masse d'un électron »,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\frac{1}{4 π ε_{0}} ≃ 9, 00 1 0^{9} U . S . I .$ la constante universelle électrostatique dans le vide^[2] » et
Modèle:Al Modèle:Transparent« $ℏ ≃ 1, 05 1 0^{- 34} J \cdot s$ la constante réduite de Planck^[3] »^[4].

Interprétation de chaque terme de l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome

Modèle:AlQue représente le 1^er terme dans l'expression de l'énergie ? Comment s'interprète-t-il ?

Modèle:AlQue représente le 2^ème terme ?

Modèle:Solution

Détermination de la valeur a_min de a minimisant l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome

Modèle:AlDéterminer la valeur $a_{min}$ de $a$ qui minimise l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome.

Modèle:AlFaire l'A.N. ; ce calcul donnant l'ordre de grandeur de la taille de l'atome d'hydrogène, est-il conforme à celui de vos connaissances ?

Modèle:Solution

Détermination de la valeur minimale de l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome

Modèle:AlDéterminer la valeur minimale $E_{min}$ de l'expression approchée de $E$ .

Modèle:AlFaire l'A.N. ; ce calcul donnant l'ordre de grandeur de l'énergie de l'atome d'hydrogène dans l'état fondamental, est-il conforme à celui de vos connaissances ?

Modèle:Solution

Expression de l'énergie mécanique de l'électron considéré comme particule en mouvement circulaire dans l'atome

Modèle:AlEn considérant l'aspect corpusculaire des électrons, déterminer, dans le cadre de la mécanique classique newtonienne, l'expression de l'énergie mécanique $E_{m}$ de l'électron en orbite circulaire de rayon $a$ autour du noyau en fonction, entre autres, de $a$ $($ on prenadra la référence de l'énergie potentielle^[5] électrostatique à l'infini $)$ .

Modèle:Solution

Inégalité de Heisenberg comme base de la stabilité des atomes

Modèle:AlAdmettant qu'un électron en mouvement dans le cadre de la mécanique classique, perd de l'énergie par rayonnement électromagnétique, on en déduit que le modèle classique de l'atome ne peut être un état de stabilité ; expliquer alors la phrase suivante :

« C'est l'inégalité de Heisenberg^[6] qui est à la base de la stabilité des atomes ».

Modèle:Solution

Notes et références

\big

↑ Cette expression approchée $($ admise $)$ suppose que l'électron est repérable par trois paramètres indépendants représentant chacun l'écart de l'électron relativement au proton suivant trois axes orthogonaux se coupant en la position du proton.
↑ $ε_{0}$ étant la permittivité diélectrique du vide ${$ la permittivité diélectrique d'un milieu isolant est une constante caractérisant la réponse du milieu à l'action d'un champ électrique $[$ plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est $]$ ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant $0, 05 %$ $>$ à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière $}$ .
↑ Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit principalement, vers $1900$ , la théorie des quanta, théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en $1918$ .
↑ Encore parfois appelée « constante de Dirac ».
Modèle:AlPaul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $1933$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
Modèle:AlErwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $($ connu sous le nom de mécanique ondulatoire $)$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $1933$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $1935$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
Modèle:AlWerner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique : voir la note « ⁵⁴ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
Modèle:AlLaurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français, ayant été le premier français à obtenir la médaille Fields $($ équivalent du prix Nobel en mathématiques $)$ en $1950$ pour ses travaux sur la théorie des distributions $($ sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité $\dots)$ .
Modèle:AlAlbert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées référence d'une énergie potentielle
↑ Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées Heisenberg

Modèle:Bas de page

[approximation_pour_l'énergie_d'un_atome_d'hydrogène-1] Cette expression approchée $($ admise $)$ suppose que l'électron est repérable par trois paramètres indépendants représentant chacun l'écart de l'électron relativement au proton suivant trois axes orthogonaux se coupant en la position du proton.

[permittivité_diélectrique_du_vide-2] $ε_{0}$ étant la permittivité diélectrique du vide ${$ la permittivité diélectrique d'un milieu isolant est une constante caractérisant la réponse du milieu à l'action d'un champ électrique $[$ plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est $]$ ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant $0, 05 %$ $>$ à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière $}$ .

[Planck-3] Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit principalement, vers $1900$ , la théorie des quanta, théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en $1918$ .

[constante_de_Dirac-4] Encore parfois appelée « constante de Dirac ».
Modèle:AlPaul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $1933$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
Modèle:AlErwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $($ connu sous le nom de mécanique ondulatoire $)$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $1933$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $1935$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
Modèle:AlWerner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique : voir la note « ⁵⁴ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
Modèle:AlLaurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français, ayant été le premier français à obtenir la médaille Fields $($ équivalent du prix Nobel en mathématiques $)$ en $1950$ pour ses travaux sur la théorie des distributions $($ sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité $\dots)$ .
Modèle:AlAlbert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique.

[référence_d'une_énergie_potentielle-5] Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées référence d'une énergie potentielle

[Heisenberg-6] Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées Heisenberg

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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Sommaire

Dimension de l'atome d'hydrogène

Interprétation de chaque terme de l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome

Détermination de la valeur a_min de a minimisant l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome

Détermination de la valeur minimale de l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome

Expression de l'énergie mécanique de l'électron considéré comme particule en mouvement circulaire dans l'atome

Inégalité de Heisenberg comme base de la stabilité des atomes

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