Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : signaux périodiques

Méthode des trois ampèremètres

......On veut déterminer le facteur de puissance d'un dipôle passif linéaire alimenté en régime sinusoïdal forcé de pulsation $ω$ et d'impédance complexe non connue $\underline{Z} (j ω)$ , en utilisant trois ampèremètres supposés parfaits (c'est-à-dire d'impédance quasi-nulle) et un conducteur ohmique étalon de résistance $R$ .

......Pour cela on réalise le montage ci-contre où les ampèremètres mesurent les intensités efficaces $I_{1}$ du courant traversant l'association parallèle du D.P.L. et du conducteur ohmique étalon, $I_{2}$ du courant traversant le D.P.L. et $I_{3}$ du courant traversant le conducteur ohmique étalon.

Détermination du facteur de puissance du D.P.L. et de la puissance électrique moyenne qu'il consomme en r.s.f.

......Déterminer le facteur de puissance du dipôle passif linéaire d'impédance non connue $Z (ω)$ en fonction de $I_{1}$ , $I_{2}$ et $I_{3}$ ;

......en déduire la puissance électrique moyenne consommée par ce dipôle en fonction de $R$ , $I_{1}$ , $I_{2}$ et $I_{3}$ .

Modèle:Solution

Application à une installation E.D.F.

......Un abonné de l'E.D.F. (qui impose des tensions de valeur efficace $U = 220 V$ et de fréquence $f = 50 H z)$ branche

soit une lampe traversée par un courant d'intensité efficace $12 A$ ,
soit un moteur à caractère inductif traversé par un courant d'intensité efficace $30 A$ ,
soit les deux en parallèle, l'ensemble étant traversé par un courant d'intensité efficace $40 A$ ;

......en utilisant ce qui précède (la lampe jouant le rôle du conducteur ohmique étalon) calculer le facteur de puissance du moteur, puis
......en utilisant ce qui précède ~(la lampe jouant le rôle du conducteur ohmique étalon)~ calculer les puissances électriques moyennes consommées respectivement par la lampe et le moteur ;

......quel est le facteur de puissance de l'installation en pleine charge^[1] ?

Modèle:Solution

Adaptation d'impédances

......On considère un générateur de tension sinusoïdale de fréquence $f = \frac{ω}{2 π}$ représenté par le modèle générateur de tension [f.e.m. efficace complexe $\underline{E_{g}}$ , impédance interne complexe $\underline{z_{g}} = r_{g} + j x_{g}$ ^[2]] ;

......ce générateur alimente un dipôle linéaire passif caractérisé par son impédance complexe $\underline{Z_{u}} = R_{u} + j X_{u}$ ^[2], $R_{u}$ et $X_{u}$ ^[2] étant réglables.

Évaluation de l'intensité efficace du courant traversant le D.P.L.

......Faire un schéma de situation et

......évaluer l'intensité efficace $I$ du courant traversant le D.P.L. en fonction de $E_{g}$ , $r_{g}$ , $x_{g}$ ^[2], $R_{u}$ et $X_{u}$ ^[2].

Modèle:Solution

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L.

......En déduire la puissance électrique moyenne $P_{e, r, u}$ absorbée par le dipôle linéaire passif d'utilisation en fonction des mêmes grandeurs que précédemment.

Modèle:Solution

Condition d'adaptation d'impédances du D.P.L. et de la partie passive du générateur

......On dit qu'il y a adaptation d'impédance du D.P.L. sur le générateur si l'impédance complexe du D.P.L. est liée à l'impédance complexe interne du générateur telle que la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L. est maximale ;

......déterminer quelles doivent être les valeurs à donner à $R_{u}$ et $X_{u}$ ^[2] pour que la puissance électrique moyenne $P_{e, r, u}$ absorbée par le dipôle soit maximale (on précisera le lien entre $\underline{Z_{u}}$ ^[2] et $\underline{z_{g}}$ ^[2]).

Modèle:Solution

Calcul de la puissance moyenne et du facteur de puissance d'une installation parallèle (lampes et moteur) connaissant la tension efficace et les caractéristiques énergétiques des différents dipôles, puis ajout d'un condensateur en parallèle pour « relever » le facteur de puissance

......Une installation électrique comprend, montés en parallèle et fonctionnant sous une tension sinusoïdale de valeur efficace $U = 220 V$ et de fréquence $f =$ $50 H z$ :

$20$ lampes de $P_{l} = 100 W$ ^[3] chacune et
un moteur électrique de rendement $η = 0, 80$ ^[4], de puissance mécanique récupérable $P_{méca} = 4, 0 k W$ et de facteur de puissance $\cos (φ_{mot}) =$ $0, 75$ ^[5].

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge ainsi que son facteur de puissance

......Déterminer la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge^[1] ainsi que

......Déterminer son facteur de puissance.

Modèle:Solution

Choix du condensateur à mettre en parallèle sur l'installation en pleine charge pour « relever » son facteur de puissance

......Pour que l'installateur ne soit pas en infraction vis-à-vis du distributeur qui exige que le facteur de puissance de toute installation soit $⩾ 0, 90$ ^[6], l'installateur met, en parallèle sur l'installation, un condensateur de capacité $C$ adaptée.

......Déterminer les valeurs possibles de capacité de condensateur à mettre en parallèle sur l'installation précédente pour que le critère imposé par le distributeur soit réalisé.

Modèle:Solution

Chute de tension en ligne entre l'installation et le distributeur, minimisation des pertes en ligne

......Une installation électrique comprend, montés en parallèle et fonctionnant sous une tension sinusoïdale de valeur efficace $U = 220 V$ et de fréquence $f =$ $50 H z$ :

$20$ lampes de $P_{l} = 100 W$ ^[3] chacune et
un moteur électrique de rendement $η = 0, 80$ ^[4], de puissance mécanique récupérable $P_{méca} = 4, 0 k W$ et de facteur de puissance $\cos (φ_{mot}) =$ $0, 75$ ^[5].

......On peut établir que l'intensité efficace complexe traversant l'installation en pleine charge^[1] est $\underline{I_{tot}} ≃ 31, 8 - j 20, 0$ en $A$ ^[7].

......L'installation précédente est reliée à l'usine productrice d'électricité par une ligne équivalente à la fréquence de $50 H z$ à un conducteur ohmique de résistance $r = 0, 15 Ω$ en série avec une bobine parfaite d'inductance propre $l$ de réactance $x = l ω = 0, 10 Ω$ .

Détermination de la tension efficace imposée par l'usine productrice d'électricité pour que la tension efficace aux bornes de l'installation soit celle indiquée

......Déterminer la tension efficace $U_{us}$ délivrée par l'usine productrice d'électricité pour que celle aux bornes de l'installation en pleine charge soit $U = 220 V$ .

Modèle:Solution

Proportion de puissance électrique moyenne perdue dans la ligne sur la puissance électrique moyenne consommée dans l'installation en pleine charge, influence du facteur de puissance de cette dernière

......Exprimer la puissance électrique moyenne perdue dans la ligne $P_{ligne}$ en fonction de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge $P_{e, r, tot}$ , la tension efficace aux bornes de l'installation $U$ , le facteur de puissance de l'installation en pleine charge $\cos (φ_{tot})$ et de la résistance de la ligne $r$ puis

......montrer l'intérêt de « relever » le facteur de puissance c'est-à-dire d'avoir un facteur de puissance plus grand à puissance électrique moyenne consommée égale et tension efficace inchangée ; quel facteur de puissance serait idéal pour que les pertes soient les plus faibles possibles.

Modèle:Solution

Influence des divers facteurs pour diminuer au maximum la puissance électrique moyenne perdue dans la ligne

......Comment le distributeur peut-il agir sur les autres facteurs $(U$ ou $r)$ pour diminuer au maximum les pertes en ligne ?

Modèle:Solution

Puissance électrique moyenne consommée dans un pont d'impédances

Schéma d'un pont d'impédances en r.s.f. soumis à une tension instantanée d'entrée entre A et B et de sortie entre F et G fermée sur un conducteur ohmique de résistance R, les D.P.L. du pont étant respectivement à partir de A et dans le sens horaire, un condensateur de capacité C, une bobine d'auto-inductance L, puis les deux mêmes dans le même ordre

......On considère le pont d'impédances ci-contre fonctionnant en r.s.f. sous une tension instantanée d'entrée entre $A$ et $B$ égale à la f.e.m. instantanée sinusoïdale $e (t) = E \sqrt{2} \cos (ω t)$ du générateur de fonction supposé parfait^[8], la sortie du pont entre $F$ et $G$ étant fermée sur un conducteur ohmique de résistance $R$ ;

......le pont est constitué des D.P.L. [numérotés de $(1)$ à $(4)$ à partir de $B$ dans le sens trigonométrique] suivants :

une bobine parfaite d'inductance propre $L$ ,
un condensateur parfait de capacité $C$ ,
une bobine parfaite de même inductance propre $L$ et
un condensateur parfait de même capacité $C$ .

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par le réseau dipolaire linéaire passif formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique

......Exprimer la puissance électrique moyenne $P_{e, r, R . D . L . P .}$ consommée par le réseau dipolaire linéaire passif formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique et représenté ci-contre, en fonction de $R$ , $L$ , $C$ , $ω$ et $E$ ^[9]. Modèle:Clr

Modèle:Solution

Recherche d'une condition sur la fréquence pour que la puissance électrique moyenne consommée par le réseau dipolaire linéaire passif formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique soit extrémale (par résonance ou anti-résonance)

......Pour quelle valeur de $ω$ la puissance électrique moyenne $P_{e, r, R . D . L . P .}$ consommée par le réseau dipolaire linéaire passif formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique est-elle extrémale ?

......Préciser alors sa valeur ;

......s'agit-il de résonance de puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. (c'est-à-dire d'un maximum de $P_{e, r, R . D . L . P .})$ ou

......s'agit-il d'antirésonance de puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. (c'est-à-dire d'un minimum de $P_{e, r, R . D . L . P .})$ [on discutera suivant les valeurs de $R]$ ?

Modèle:Solution

Notes et références

↑ ^1,0 ^1,1 et ^1,2 C'est-à-dire quand tous les éléments de l'installation fonctionne simultanément.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 et ^2,7 Usuellement les impédances complexes dépendent de la pulsation par l'intermédiaire de leur réactance, pour simplifier la notation nous ne précisons pas directement la dépendance.
↑ ^3,0 et ^3,1 Il s'agit de puissance électrique moyenne consommée.
↑ ^4,0 et ^4,1 Le rendement d'un moteur électrique est le rapport entre la puissance mécanique récupérable et la puissance électrique moyenne consommée par le moteur.
↑ ^5,0 et ^5,1 On admet qu'un moteur est inductif (ce qui veut dire que sa réactance est inductive), en effet un moteur électrique fonctionne grâce aux phénomènes d'induction que nous étudierons dans les chapitres de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) ».
↑ On peut en effet montrer que la proportion de puissance électrique moyenne perdue dans les lignes de transport situées en amont du compteur électrique mesurant la puissance électrique moyenne consommée par l'utilisateur sur cette dernière est d'autant plus grande que le facteur de puissance de l'installation du particulier est faible, avec la particularité que cette puissance électrique moyenne perdue dans les lignes n'est pas mesurée par le compteur de puissance du particulier, donc n'est pas payée directement par lui (mais répercutée sur tous les abonnés sans que le particulier en question n'en tire aucun avantage) ;
...lors de l'installation faite par un professionnel, celle-ci est conforme et le distributeur peut le vérifier à tout instant, mais lorsqu'un particulier modifie ou crée lui-même une installation, elle peut ne pas l'être si le particulier n'y prend pas garde, alors si le distributeur se rend compte du problème lors d'une vérification il est, d'une part, autorisé à verbaliser le particulier et d'autre part il exigera que ce dernier rende son installation conforme !
...Comme le facteur de puissance de l'installation dépend des appareils en fonctionnement et que chaque appareil peut ne pas avoir un facteur de puissance constant, le distributeur n'impose pas un facteur de puissance égal à 1 (ce qui serait l'idéal) mais impose qu'il ne puisse être (en fonctionnement permanent) inférieur à $0, 90$ .
↑ Il n'est pas demandé d'établir cette expression car cela a été fait dans l'exercice précédent « détermination de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge … » de cette série d'exercices.
↑ C'est-à-dire tel que son impédance de sortie est considérée comme négligeable.
↑ Il peut être intéressant de répondre à la question « dans quel dipôle la puissance est-elle consommée ?.~» et
... Il peut être intéressant de calculer l'intensité efficace traversant ce dipôle dans le but d'évaluer cette puissance.

Modèle:Bas de page

[pleine_charge-1] 1,0 ^1,1 et ^1,2 C'est-à-dire quand tous les éléments de l'installation fonctionne simultanément.

[dépendance_de_omega-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 et ^2,7 Usuellement les impédances complexes dépendent de la pulsation par l'intermédiaire de leur réactance, pour simplifier la notation nous ne précisons pas directement la dépendance.

[puissance_électrique_moyenne-3] 3,0 et ^3,1 Il s'agit de puissance électrique moyenne consommée.

[rendement_d'un_moteur-4] 4,0 et ^4,1 Le rendement d'un moteur électrique est le rapport entre la puissance mécanique récupérable et la puissance électrique moyenne consommée par le moteur.

[moteur-5] 5,0 et ^5,1 On admet qu'un moteur est inductif (ce qui veut dire que sa réactance est inductive), en effet un moteur électrique fonctionne grâce aux phénomènes d'induction que nous étudierons dans les chapitres de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) ».

[6] On peut en effet montrer que la proportion de puissance électrique moyenne perdue dans les lignes de transport situées en amont du compteur électrique mesurant la puissance électrique moyenne consommée par l'utilisateur sur cette dernière est d'autant plus grande que le facteur de puissance de l'installation du particulier est faible, avec la particularité que cette puissance électrique moyenne perdue dans les lignes n'est pas mesurée par le compteur de puissance du particulier, donc n'est pas payée directement par lui (mais répercutée sur tous les abonnés sans que le particulier en question n'en tire aucun avantage) ;
...lors de l'installation faite par un professionnel, celle-ci est conforme et le distributeur peut le vérifier à tout instant, mais lorsqu'un particulier modifie ou crée lui-même une installation, elle peut ne pas l'être si le particulier n'y prend pas garde, alors si le distributeur se rend compte du problème lors d'une vérification il est, d'une part, autorisé à verbaliser le particulier et d'autre part il exigera que ce dernier rende son installation conforme !
...Comme le facteur de puissance de l'installation dépend des appareils en fonctionnement et que chaque appareil peut ne pas avoir un facteur de puissance constant, le distributeur n'impose pas un facteur de puissance égal à 1 (ce qui serait l'idéal) mais impose qu'il ne puisse être (en fonctionnement permanent) inférieur à $0, 90$ .

[donnée-7] Il n'est pas demandé d'établir cette expression car cela a été fait dans l'exercice précédent « détermination de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge … » de cette série d'exercices.

[8] C'est-à-dire tel que son impédance de sortie est considérée comme négligeable.

[9] Il peut être intéressant de répondre à la question « dans quel dipôle la puissance est-elle consommée ?.~» et
... Il peut être intéressant de calculer l'intensité efficace traversant ce dipôle dans le but d'évaluer cette puissance.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : signaux périodiques

Sommaire

Méthode des trois ampèremètres

Détermination du facteur de puissance du D.P.L. et de la puissance électrique moyenne qu'il consomme en r.s.f.

Application à une installation E.D.F.

Adaptation d'impédances

Évaluation de l'intensité efficace du courant traversant le D.P.L.

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L.

Condition d'adaptation d'impédances du D.P.L. et de la partie passive du générateur

Calcul de la puissance moyenne et du facteur de puissance d'une installation parallèle (lampes et moteur) connaissant la tension efficace et les caractéristiques énergétiques des différents dipôles, puis ajout d'un condensateur en parallèle pour « relever » le facteur de puissance

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge ainsi que son facteur de puissance

Choix du condensateur à mettre en parallèle sur l'installation en pleine charge pour « relever » son facteur de puissance

Chute de tension en ligne entre l'installation et le distributeur, minimisation des pertes en ligne

Détermination de la tension efficace imposée par l'usine productrice d'électricité pour que la tension efficace aux bornes de l'installation soit celle indiquée

Proportion de puissance électrique moyenne perdue dans la ligne sur la puissance électrique moyenne consommée dans l'installation en pleine charge, influence du facteur de puissance de cette dernière

Influence des divers facteurs pour diminuer au maximum la puissance électrique moyenne perdue dans la ligne

Puissance électrique moyenne consommée dans un pont d'impédances

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par le réseau dipolaire linéaire passif formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique

Recherche d'une condition sur la fréquence pour que la puissance électrique moyenne consommée par le réseau dipolaire linéaire passif formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique soit extrémale (par résonance ou anti-résonance)

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Méthode des trois ampèremètres

Détermination du facteur de puissance du D.P.L. et de la puissance électrique moyenne qu'il consomme en r.s.f.

Application à une installation E.D.F.

Adaptation d'impédances

Évaluation de l'intensité efficace du courant traversant le D.P.L.

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L.

Condition d'adaptation d'impédances du D.P.L. et de la partie passive du générateur

Calcul de la puissance moyenne et du facteur de puissance d'une installation parallèle (lampes et moteur) connaissant la tension efficace et les caractéristiques énergétiques des différents dipôles, puis ajout d'un condensateur en parallèle pour « relever » le facteur de puissance

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge ainsi que son facteur de puissance

Choix du condensateur à mettre en parallèle sur l'installation en pleine charge pour « relever » son facteur de puissance

Chute de tension en ligne entre l'installation et le distributeur, minimisation des pertes en ligne

Détermination de la tension efficace imposée par l'usine productrice d'électricité pour que la tension efficace aux bornes de l'installation soit celle indiquée

Proportion de puissance électrique moyenne perdue dans la ligne sur la puissance électrique moyenne consommée dans l'installation en pleine charge, influence du facteur de puissance de cette dernière

Influence des divers facteurs pour diminuer au maximum la puissance électrique moyenne perdue dans la ligne

Puissance électrique moyenne consommée dans un pont d'impédances

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par le réseau dipolaire linéaire passif formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique

Recherche d'une condition sur la fréquence pour que la puissance électrique moyenne consommée par le réseau dipolaire linéaire passif formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique soit extrémale (par résonance ou anti-résonance)

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