Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques

Résistance équivalente d'un treillis métallique invariant par symétrie et antisymétrie axiales électriques

Schéma d'un treillis métallique entre $A$ et $B$ à $24$ brins identiques de résistance $r$ chacun

Modèle:AlOn considère le treillis métallique ci-contre dont tous les côtés ont une même valeur de résistance $r$.

Modèle:AlOn se propose de déterminer, de $4$ façons différentes utilisant les invariances électriques du réseau par symétrie ou antisymétrie axiales, la résistance $R$ entre $A$ et $B$.

Modèle:AlDéterminer l'invariance de la répartition des courants traversant le réseau par symétrie axiale et

Modèle:Alen déduire deux façons différentes permettant d'évaluer la résistance du réseau.

Modèle:AlDe même déterminer l'invariance de la répartition des courants traversant le réseau par antisymétrie axiale et

Modèle:Alen déduire deux autres façons différentes permettant d'évaluer la résistance du réseau. Modèle:Clr Modèle:Solution

Utilisation de l'invariance électrique du réseau par symétrie axiale

Mise en œuvre de la 1^ère méthode d'utilisation de l'axe de symétrie par suppression de courts-circuits traversés par aucun courant

Modèle:AlÀ l'aide de schémas équivalents successifs déterminer la résistance du réseau entre $A$ et $B$.

Mise en œuvre de la 2^ème méthode d'utilisation de l'axe de symétrie en court-circuitant les points symétriques

Modèle:AlÀ l'aide de schémas équivalents successifs déterminer la résistance du réseau entre $A$ et $B$.

Utilisation de l'invariance électrique du réseau par antisymétrie axiale

Mise en œuvre de la 1^ère méthode d'utilisation de l'axe d'antisymétrie par suppression de courts-circuits traversés par aucun courant

Modèle:AlÀ l'aide de schémas équivalents successifs déterminer la résistance du réseau entre $A$ et $B$.

Mise en œuvre de la 2^ème méthode d'utilisation de l'axe d'antisymétrie en court-circuitant les points de cet axe

Modèle:AlÀ l'aide de schémas équivalents successifs déterminer la résistance du réseau entre $A$ et $B$.

Résistances équivalentes, suivant les bornes considérées, d'un conducteur cubique invariant par symétrie ou antisymétrie planes électriques

Schéma d'un réseau de fils métalliques en forme cubique, chaque côté étant de même résistance $r$

Modèle:AlUn réseau électrique de forme cubique dont chaque côté est un fil métallique de même résistance $r$ $($voir figure ci-contre$)$ peut être alimenté de trois manières différentes :

• entre $A$ et $B$,
• entre $A$ et $C$ ou
• entre $A$ et $D$.

Modèle:AlOn se propose d'évaluer, dans chaque cas, la résistance équivalente du réseau après utilisation de ses invariances électriques.

Résistance du réseau cubique entre A et D

Modèle:AlRechercher les plans de symétrie et d'antisymétrie de la répartition des courants, puis

Modèle:Alen déduire la résistance ${ℛ}_{AD}$ du réseau cubique entre $A$ et $D$ par la méthode la mieux adaptée.

Résistance du réseau cubique entre A et C

Modèle:AlRechercher les plans de symétrie et d'antisymétrie de la répartition des courants, puis

Modèle:Alen déduire la résistance ${ℛ}_{AC}$ du réseau cubique entre $A$ et $C$ par la méthode la mieux adaptée.

Résistance du réseau cubique entre A et B

Modèle:AlOn pourrait procéder de même mais ce serait plus laborieux ; il est en fait judicieux

Modèle:Alde constater l'invariance électrique du réseau par rotation autour de $AB$ d'un angle à préciser où $\{\begin{array}{c}D\to G\to F\to D\\ C\to E\to H\to C\end{array}$ puis,

Modèle:Alde simplifier le réseau par courts-circuits adaptés,

Modèle:Alpour en déduire la résistance ${ℛ}_{AB}$ du réseau cubique entre $A$ et $B$.

Lois de Kirchhoff, utilisation des symétries électriques

Schéma d'un circuit fermé à $5$ nœuds et $8$ branches possédant une symétrie axiale

Modèle:AlCi-contre un circuit fermé à $5$ nœuds et $8$ branches possédant une symétrie axiale.

Expression des intensités I et i

Modèle:AlAprès avoir simplifié le circuit ci-contre par étude des invariances de la répartition des courants par symétrie axiale, trouver les expressions des intensités $I$ et $i$ en fonction de $e$ et $r$.

Modèle:Solution

Mêmes questions en ajoutant une diode idéale dans la branche MN

Modèle:AlOn dispose entre $N$ et $M$ en plus du conducteur ohmique de résistance $r$, d'une diode à jonction idéale.

Modèle:AlDéterminer $I$ dans les deux hypothèses possibles de branchement de cette diode.

Groupement de piles, optimisation

Modèle:AlOn dispose de $n$ piles identiques de f.e.m. $e$ et de résistance interne $r$. On réalise le branchement en parallèle entre $A$ et $B$ de $x$ dipôles comprenant chacun $y$ piles montées en série.

Modèle:AlDéterminer $x$ et $y$ pour que l'intensité du courant circulant dans un conducteur ohmique de résistance $R$, branché entre $A$ et $B$, soit maximale dans le cas particulier numérique suivant : $n=24$, $e=1V$, $r=1\mathrm{\Omega }$ et $R=6\mathrm{\Omega }$ ;

Modèle:Alpréciser la valeur de l'intensité du courant $I_{\text{max}}$ délivrée par la batterie de piles avec les valeurs de $x$ et de $y$ précédemment trouvées quand celle-ci alimente le conducteur ohmique de résistance $R$.

Réseau dipolaire linéaire actif branché sur un dipôle non linéaire

Schéma d'un R.D.L.A. fermé sur un Modèle:Nobr $($plus particulièrement une Modèle:Nobr

Modèle:AlOn considère le circuit représenté ci-contre, comprenant, outre des dipôles linéaires, une « varistance $($ou V.D.R.$)$» ;

Modèle:Alon donne l'équation de la caractéristique statique de la « varistance $($ou V.D.R.$)$» en convention récepteur «$|i|=2,510^{-5}{u}^2$» où $i$ est exprimée en $A$ et $u$ en $V$.

Détermination du générateur de Thévenin équivalent au R.D.L.A. NM aux bornes duquel est branchée la varistance

Modèle:AlDéterminer la f.e.m. $e_{\text{Th}}$ et la résistance $r_{\text{Th}}$ du générateur de Thévenin équivalent au R.D.L.A. $NM$ par application de la méthode qui vous semble la plus appropriée puis

Modèle:Alécrire la loi d'Ohm généralisée de ce générateur de Thévenin équivalent $($en convention générateur$)$.

Détermination du point de fonctionnement de la varistance

Modèle:AlReprésenter le circuit équivalent en remplaçant le R.D.L.A. $MN$ par son générateur de Thévenin équivalent.

Modèle:AlDéterminer le signe de l'intensité du courant traversant la varistance à partir de celui de la f.e.m. $e_{\text{Th}}$ et en déduire aussi le signe de la tension à ses bornes, puis

Modèle:Alécrire l'équation de la caractéristique statique de la « varistance $($ou V.D.R.$)$» en convention récepteur ;

Modèle:Alà partir de la loi d'Ohm généralisée du générateur de Thévenin équivalent et de l'équation de la caractéristique statique de la « varistance $($ou V.D.R.$)$», en déduire le point de fonctionnement $(i,u)$ de la « varistance $($ou V.D.R.$)$».

Détermination de l'intensité du courant traversant un conducteur ohmique dans un réseau à deux sources de tension

Recherche de l'intensité du courant traversant le conducteur ohmique de résistance $r$ branché dans un réseau linéaire à deux sources de tension

Modèle:AlLes générateurs du circuit ci-contre sont de résistance interne nulle.

Modèle:AlCherchant à déterminer l'intensité $i$ du courant circulant dans le conducteur ohmique de résistance $r$, nous nous proposons de remplacer le R.D.L.A. $AB$ par son générateur de Thévenin équivalent, lequel délivre un courant à la branche extérieure constituée du conducteur ohmique de résistance $r$.

Générateur de Thévenin équivalent au R.D.L.A. AB aux bornes duquel est branché le conducteur ohmique de résistance r

Modèle:AlRedessiner le circuit fermé ci-contre en termes de « R.D.L.A. $AB$» fermé sur la « charge de résistance $r$», le R.D.L.A. délivrant un courant d'intensité $i$ à la charge extérieure, puis,

Modèle:Aldéterminer, par la méthode qui vous semble la mieux adaptée, le générateur de Thévenin équivalent au R.D.L.A. $AB$ délivrant un courant d'intensité $i$.

Détermination de l'intensité i du courant traversant le conducteur ohmique de résistance r

Modèle:AlTracer le schéma équivalent en remplaçant le R.D.L.A. $AB$ par son générateur de Thévenin équivalent puis

Modèle:Alen déduire l'intensité $i$ du courant que ce générateur de Thévenin délivre au conducteur ohmique de résistance $r$.

Détermination de l'intensité du courant traversant un conducteur ohmique dans un réseau à deux sources de tension et une source de courant

Recherche de l'intensité du courant traversant le conducteur ohmique de résistance $R_3$ branché dans un réseau linéaire à deux sources de tension et une source de courant

Modèle:AlLes sources de tension et de courant du circuit ci-contre sont idéales.

Modèle:AlCherchant à déterminer l'intensité $i$ du courant circulant dans le conducteur ohmique de résistance $R_3$, nous nous proposons de remplacer le R.D.L.A. $AB$ par son générateur de Norton équivalent, lequel délivre un courant à la branche extérieure constituée du conducteur ohmique de résistance $R_3$.

Générateur de Norton équivalent au R.D.L.A. AB aux bornes duquel est branché le conducteur ohmique de résistance R₃

Modèle:AlRedessiner le circuit fermé représenté ci-contre en termes de « R.D.L.A. $AB$» fermé sur la « charge de résistance $R_3$», le R.D.L.A. délivrant un courant d'intensité $i$ à la charge extérieure, puis,

Modèle:Aldéterminer, par la méthode qui vous semble la mieux adaptée, le générateur de Norton équivalent au R.D.L.A. $AB$ délivrant un courant d'intensité $i$.

Détermination de l'intensité i du courant traversant le conducteur ohmique de résistance R₃

Modèle:AlTracer le schéma équivalent en remplaçant le R.D.L.A. $AB$ par son générateur de Norton équivalent puis

Modèle:Alen déduire l'intensité $i$ du courant que ce générateur de Norton délivre au conducteur ohmique de résistance $R_3$.

Modèle:AlA.N. : $R_1=R_2=1k\mathrm{\Omega }$, $R_3=100\mathrm{\Omega }$, $R_4=0,5k\mathrm{\Omega }$, $R_5=1,5k\mathrm{\Omega }$, $e_1=10V$, $e_4=5V$ et $i_0=20mA$.