Série et transformée de Fourier en physique/Série de Fourier

Modèle:Chapitre Dans le cas le plus courant en sciences physiques l'étude se porte sur la variation dans le temps $t$ d'une grandeur notée $y(t)$.

Un phénomène est périodique s'il se reproduit, identique à lui-même, régulièrement dans le temps.

• La période $T$ est la durée, exprimée en seconde, au bout de laquelle le phénomène se reproduit : $y(t+T)=y(t)$.
• La fréquence $f=\frac{1}{T}$, exprimée en hertz, est le nombre de périodes par seconde.
• La pulsation ou fréquence angulaire, exprimée en radian par seconde, est indispensable pour la plupart des représentations mathématiques des phénomènes périodiques et s'exprime $\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}$.

Modèle:Encart La formulation mathématique de ce théorème peut être déclinée sous différentes formes, plus ou moins sophistiquées, selon les besoins des domaines d'application.

Coefficients réels

Dans le domaine temporel

Si $y(t)$ est une grandeur périodique de période $T$, et $n$ un entier alors :

$\begin{array}{cc}y(t)=\frac{A_0}{2}& +A_1\cdot \cos (\omega \cdot t)+A_2\cdot \cos (2\cdot \omega \cdot t)+\dots +A_n\cdot \cos (n\cdot \omega \cdot t)\\ & +B_1\cdot \sin (\omega \cdot t)+B_2\cdot \sin (2\cdot \omega \cdot t)+\dots +B_n\cdot \sin (n\cdot \omega \cdot t)+\dots \end{array}$

ou de façon condensée : Modèle:Encart

Les coefficients sont définis par les relations suivantes, quel que soit $t_0$ :

Dans le domaine des angles

On peut aisément transposer les formules précédentes afin de manipuler directement des angles. En effet, pour un signal sinusoïdal de pulsation $\omega$ et de période $T$, sachant que $2\pi =\omega T$, on applique le changement de variable $\theta =\omega t$. Les relations précédentes se transforment de la façon suivante.

Coefficients complexes

En utilisant les formules d'Euler, il est possible de définir des coefficients complexes qui sont, dans de nombreux cas, bien plus faciles à calculer.Modèle:Encart