Série et transformée de Fourier en physique/Annexe/Exemple1

Voici quelques exemples de décomposition en série de Fourier de signaux que l’on retrouve souvent en physique.

Créneau symétrique

$y(t)=\{\begin{array}{cc}+Y_m,& \text{si }t\in ]0,\frac{T}{2}[\\ -Y_m,& \text{si }t\in ]\frac{T}{2},T[\end{array}$

$y(t)=\frac{4Y_m}{\pi }\{\sin (\omega t)+\frac{1}{3}\sin (3\omega t)+\dots +\frac{1}{2n+1}\sin \left[(2n+1)\omega t\right]+\dots \}$

$y(t)=\frac{4Y_m}{\pi }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}\sin \left[(2n+1)\omega t\right]$

Exemple en reprenant les premiers rangs d'harmoniques.

Signal triangulaire symétrique

Signal rectangulaire à paliers nuls

$y(t)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{si }t\in ]0,\alpha [\\ +Y_m,& \text{si }t\in ]\alpha ,\frac{T}{2}-\alpha [\\ 0,& \text{si }t\in ]\frac{T}{2}-\alpha ,\frac{T}{2}+\alpha [\\ -Y_m,& \text{si }t\in ]\frac{T}{2}+\alpha ,T-\alpha [\\ 0,& \text{si }t\in ]T-\alpha ,T[\end{array}$

$y(t)=\frac{4Y_m}{\pi }\{\cos (\alpha )\sin (\omega t)+\frac{\cos (3\alpha )}{3}\sin (3\omega t)+\dots +\frac{\cos [(2n+1)\alpha ]}{2n+1}\sin \left[(2n+1)\omega t\right]+\dots \}$

$y(t)=\frac{4Y_m}{\pi }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos [(2n+1)\alpha ]}{2n+1}\sin \left[(2n+1)\omega t\right]$

Modèle:Démonstration déroulante