Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1

Exercice 1-1

Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes :

• $\sum _{n\ge 2}(\ln n)x^n$

• $\sum _{n\ge 1}\frac{n^n}{n!}{x}^n$

• $\sum _{n\ge 2}\frac{n\ln n}{n^2+1}{x}^n$

• $\sum _{n\ge 0}\frac{x^{2n}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}$

• $\sum _{n\ge 0}(-1{)}^n\frac{5^n}{n^3+1}{x}^{2n+1}$

• $\sum _{n\ge 0}\sin (\pi \sqrt{n^2+1})z^n$

• $\sum _{n\ge 0}{\left(\frac{1}{1+\sqrt{n}}\right)}^n{z}^n$

Exercice 1-2

Développer en série entière les fonctions suivantes et donner le rayon de convergence de la série obtenue :

• $f(x)=\frac{1+x}{(1-x)(2-x)}$ ;
• $g(x)=\frac{1}{1+x+x^2+x^3}$ ;
• $h(x)=\ln \frac{2-3x}{2+3x}$ ;
• $j(x)=\sin (x^2+1)$ ;
• $k(x)={\mathrm{e}}^{x\cosh a}\cosh (x\sinh a)$, où $a\in ℝ$.