Série entière/Exercices/Calcul de sommes

Exercice 1

On considère la série entière de la variable réelle $x$ : $\sum _{n\ge 3}\frac{x^n}{(n+1)(n-2)}.$

1°  Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière. Est-elle convergente pour $|x|=R$ ? Modèle:Solution

2°  Pour tout nombre réel $x$ tel que la série entière précédente converge, on note $S(x)$ sa somme.

• Expliciter la dérivée de la fonction $x\mapsto xS(x)$ sur $]-R,R[$.
• En déduire $S(x)$ pour $x$ appartenant à $]-R,R[$.

3°  Calculer la somme de chacune des séries numériques suivantes :

• $\sum _{n\ge 3}(-1{)}^n\frac{R^n}{(n+1)(n-2)}$ ;
• $\sum _{n\ge 3}\frac{R^n}{(n+1)(n-2)}$.

Exercice 2

Soit $z\ne -1$ un nombre complexe de module $1$. On rappelle (Série numérique/Exercices/Critère d'Abel#Exercice 8) que la série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-z)}^n}{n}$ converge, et ([[../../Propriétés#Dérivation, intégration]]) que $\ln (1+tz)$ est défini, pour tout réel $t\in ]-1,1[$, par $\ln (1+tz):=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-tz{)}^n}{n}$. Démontrer que $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-z)}^n}{n}=-\underset{t\to 1^{-}}{\lim }\ln (1+tz)$. Modèle:Solution

Exercice 3

Sachant que $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ (cf. Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta#Exercice 9-1), démontrer que

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln x}{1-x}\mathrm{d}x=-\frac{{\pi }^2}{6}$.

Exercice 4

Soit (S) la série $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(z)$ où $u_n(z)=\frac{(-1{)}^n}{n(n-1)}{z}^n$.

1. On pose $v_n(z)=z^2{u}_n(z)$. Déterminer le rayon de convergence de la série $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{v}_n(z)$.
2. Quel est le rayon de convergence des séries entières $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}u{\text{'}}_n(z)$ et $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{u}^{\prime }{\text{'}}_n(z)$ ?
3. Déterminer la somme de la série $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{u}^{\prime }{\text{'}}_n(z)$.
4. En déduire la somme de la série (S).