Série de Fourier/Introduction

Séries trigonométriques

Premières définitions

Les coefficients $c_k$ sont appelés coefficients complexes de Fourier.

Une série trigonométrique du type $f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{inx}$

s'écrit aussi :

$f(x)=c_0+\sum _{n\ge 1}(c_n+c_{-n})\cos (nx)+i(c_n-c_{-n})\sin (nx)$

On pose alors $a_n=c_n+c_{-n}$ et $b_n=i(c_n-c_{-n})$, de sorte que : $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n\ge 1}{a}_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)$

On obtient alors les formules d'inversion suivantes :

$c_0=\frac{a_0}{2}\text{et}\mathrm{\forall }n>0c_n=\frac{a_n-i{b}_n}{2},c_{-n}=\frac{a_n+i{b}_n}{2}$

Propriétés des séries trigonométriques

Remarque. Si on remplace $x$ par $\frac{2\pi }{T}x$, on obtient une fonction de période $T$. C’est pourquoi les séries trigonométriques ont été utilisées par Euler, Fourier... pour la représentation des fonctions périodiques.