Relativité restreinte/Composition des vitesses

La transformation de Lorentz sous forme différentielle peut s'écrire:

$dx=\gamma (d{x}^{\prime }+vd{t}^{\prime })=\gamma (v{\text{'}}_x+v)d{t}^{\prime }$

$dt=\gamma (d{t}^{\prime }+\frac{vd{x}^{\prime }}{c^2})=\gamma (1+\frac{vv{\text{'}}_x}{c^2})d{t}^{\prime }$

où $v_x=dx/dt$ est la vitesse "absolue" de la cinématique classique dans le référentiel R et $v{\text{'}}_x=d{x}^{\prime }/d{t}^{\prime }$ la vitesse relative dans R. On a posé $:\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\mathrm{e}\mathrm{t}\beta =v/c$.

En faisant le rapport v_x et v'_x, on a pour des vitesses colinéaires :

${𝐯}_{𝐱}\mathbf{=}\frac{dx}{dt}\mathbf{=}\frac{v+v{\text{'}}_x}{1+\frac{vv{\text{'}}_x}{c^2}}$

où v_x est la vitesse "absolue" et v'_x la vitesse relative.

En relativité, toutes les vitesses sont relatives, c’est pourquoi la vitesse absolue est à remplacer par la vitesse v_x dans le référentiel R de l'observateur. La vitesse relative v'_x est la vitesse dans le référentiel R' mobile par rapport à l'observateur. La vitesse v est la vitesse du référentiel R' dans le référentiel R. Cette formule donne bien une limitation de vitesse, comme on le voit en remplaçant v'_x par c pour obtenir v_x=c. Pour une vitesse de la lumière infinie, on retrouve l'addition galiléenne des vitesses.