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Définition de la régression au plus près

On appellera régression au plus près toute forme suivante correspondant aux conditions suivantes :

{\begin{matrix} y_{r e g} (x r) = K_{0} + K_{1} F_{r e g 1} (x r) + K_{2} F_{r e g 2} (x r) + K_{3} F_{3} (x r) + \dots + K_{i} F_{r e g i} (x r) + \dots + K_{n} F_{r e g n} (x r) \\ y (x r) - y_{r e g} (x r) = ϵ (x r) \\ \forall i, y_{r e g} (x r_{i}) = K_{i} + K_{r e g 1} F_{r e g 1} (x r_{i}) + K_{2} F_{r e g 2} (x r_{i}) + K_{3} F_{r e g 3} (x r_{i}) + \dots + K_{i} F_{r e g i 1} (x r_{i}) + \dots + K_{n} F_{r e g n} (x r_{i}) \\ \forall i, y_{i} (x r_{i}) - y_{r e g} (x r_{i}) = ϵ (x r_{i}) \\ ϵ (x r) = Σ ϵ (x r_{i}) / n u l / o u / n o n \\ K_{0} = Σ K_{i} \\ S D M C = Σ ϵ^{2} (x r_{i}) / m i n i m u m \end{matrix}

AVEC

Échec de l’analyse (fonction inconnue « \begin{cases} »): {\displaystyle \begin{cases} i>=1 \\ \exists!un/i/au/moins/tel/que : \epsilon(xr_1) \neq 0 \\ \epsilon(xr_1)<= (/ou/non)/à/limite/l_i/initiale/maximale \\ F_{regi} / de/mêmes/natures/ou/non \\ SDMC <= (/ou/non)/à/limite/l/initiale/maximale \end{cases} }

On appellera régression idéale LA régression de type ci-dessus telle qu'en plus

S D E = Σ ϵ (x r_{i}) = 0

, E comme écart, S comme somme, D comme des, C comme carrés.

On appellera régressions monofonctionnelles les régression telles que tous les

F_{i}

soient de même nature

Exemple 1:

y_{r e g 1} (x r) = K_{11} \sin (w_{11} x r) + K_{21} \sin (w_{21} x r) + K_{31} \sin (w_{31} x r)

Exemple 2:

y_{r e g 2} (x r) = K_{1} + K_{12} (1 - \cos (w_{12} x r)) + K_{2} + K_{22} (1 - \cos (w_{22} x r)) + K_{32} \sin (w_{32} x r) + K_{42} \sin (w_{42} x r)

On appellera ordre global le nombre de fonctions de même nature ou non ; ordre partiel le nombre de fonctions entrant dans la régression de même nature ( dans l'exemple : ordre 3 global et 3 partiel en sinus )

Pour exprimer que la Somme Des Moindres Carrés

S D M C

est minimale, on écrira que toutes ses dérivées partielles par rapport aux écarts

ϵ (x r_{i}) = y_{i} (x r_{i}) - y_{r e g} (x r_{i})

sont nulles

\forall i

.

La forme générale peut aussi se mettre sous la forme plus facile à manipuler et faisant appel à des calculs plus simples, moins nombreux et plus logiques :

{\begin{matrix} y_{r e g} (x r) = y_{0} + k_{1 I} F_{1 I} (x r) + k_{2 I} F_{2 I} (x r) + \dots + k_{i I} F_{i I} (x r) + \dots + k_{m I} F_{m I} (x r) + k_{0} + k_{1 P} (F_{1 P} (0) - F_{1 P} (x r)) + k_{2 P} (F_{2 P} (0) - F_{2 P} (x r)) + \dots + k_{j P} (F_{j P} (0) - F_{j P} (x r)) + \dots + k_{n P} (F_{n P} (0) - F_{n P} (x r)) \\ y_{0} = y (0), F_{* I} (x r) / I m p a i r e / F_{* I} (0) = 0, F_{* P} (x r) / P a i r e \\ y (x r) - y_{r e g} (x r) = ϵ (x r) \\ \forall i, y_{r e g} (x r_{i}) = y (x r) - y_{r e g} (x r) = y_{0} + k_{1 I} F_{1 I} (x r_{i}) + k_{2 I} F_{2 I} (x r_{i}) + \dots + k_{i I} F_{i I} (x r_{i}) + \dots + k_{m I} F_{m I} (x r_{i}) + k_{i} + k_{1 P} (F_{1 P} (0) - F_{1 P} (x r_{i})) + k_{2 P} (F_{2 P} (0) - F_{2 P} (x r_{i})) + \dots + k_{j P} (F_{1 P} (0) 1 - F_{j P} (x r_{i})) + \dots + k_{n P} (F_{1 P} (0) - F_{n P} (x r_{i})) + e p s i l o n (x r) \\ \forall i, y_{i} (x r_{i}) - y_{r e g} (x r_{i}) = ϵ (x r_{i}) \\ ϵ (x r) = Σ ϵ (x r_{i}) / n u l / o u / n o n \\ k_{0} = Σ k_{i} \\ S D M C = Σ ϵ^{2} (x r_{i}) / m i n i m u m \end{matrix}

Deuxième étape de l'approche

Rechercher la meilleure fonction régressive F1 telle que :

Échec de l’analyse (fonction inconnue « \begin{cases} »): {\displaystyle \begin{cases} y_{reg}(xr) = k + k_1F_1(xr)+ \epsilon_1{(xr)} \\ SDMC_1 = \Sigma \epsilon_1^2(xr_{1i}) /minimum/dans/la/liste/des/F1/testées \\ SDE = \Sigma \epsilon(xr_{i}) = 0 /éventuellement/et/si/possible \end{cases} }

Réitérer l'opération sur

ϵ (x r_{1})

Échec de l’analyse (fonction inconnue « \begin{cases} »): {\displaystyle \begin{cases} \epsilon_1{(xr)} = y_{reg1}(xr) = k_2F_2(xr)+ \epsilon_2{(xr)} \\ SDMC_2 = \Sigma \epsilon_2^2(xr_{2i}) /minimum/dans/la/liste/des/F2/testées \\ SDE = \Sigma \epsilon(xr_{i}) = 0 /éventuellement/et/si/possible \end{cases} }

Arrêter quand on le désire, par exemple après avoir atteint une limite pour SDMC.

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