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__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Modèle:Exercice

Exercice 4-1

Résoudre l'équation :

$x^3-6x^2+5x-1=0$

en exprimant les racines comme fonctions homographiques de fonctions de la forme cosinus.

Exercice 4-2

Sachant (d'après l'exercice 7 du chapitre 1, ou plus simplement, d'après l'exercice 8-3 de la leçon sur les équations de degré 3) que

$-\frac{\tan \frac{2\pi }{9}}{\sqrt{3}},\frac{\tan \frac{\pi }{9}}{\sqrt{3}},\frac{\tan \frac{4\pi }{9}}{\sqrt{3}}$

sont les trois racines du polynôme :

$P(X)=X^3-3X^2-X+\frac{1}{3}$,

montrer que le triplet

$(-\cos \frac{2\pi }{9},-\cos \frac{4\pi }{9},\cos \frac{\pi }{9})$

est envoyé (dans cet ordre) :

• sur $(\frac{\tan \frac{4\pi }{9}}{\sqrt{3}},\frac{\tan \frac{\pi }{9}}{\sqrt{3}},-\frac{\tan \frac{2\pi }{9}}{\sqrt{3}})$ par $z\mapsto \frac{-z}{z+1}$ ;
• sur $(\frac{\tan \frac{\pi }{9}}{\sqrt{3}},-\frac{\tan \frac{2\pi }{9}}{\sqrt{3}},\frac{\tan \frac{4\pi }{9}}{\sqrt{3}})$ par $z\mapsto \frac{2z+1}{2z-1}$ ;
• sur $(-\frac{\tan \frac{2\pi }{9}}{\sqrt{3}},\frac{\tan \frac{4\pi }{9}}{\sqrt{3}},\frac{\tan \frac{\pi }{9}}{\sqrt{3}})$ par $z\mapsto \frac{1}{4z+1}$.

Montrer également que les trois nombres

$-\frac{\sin \frac{4\pi }{9}}{\sqrt{3}}$, $\frac{\sin \frac{\pi }{9}}{\sqrt{3}}$ et $\frac{\sin \frac{2\pi }{9}}{\sqrt{3}}$

sont algébriques de degré 3, de même polynôme minimal, que l'on déterminera.

Exercice 4-3

En utilisant la formule du cosinus de l'angle double en fonction de la tangente, trouver trois homographies à coefficients rationnels qui envoient

$\{-\cos \frac{2\pi }{7},-\cos \frac{4\pi }{7},-\cos \frac{8\pi }{7}\}\text{sur}\{{\tan }^2\frac{\pi }{7},{\tan }^2\frac{2\pi }{7},{\tan }^2\frac{4\pi }{7}\}$.

Exercice 4-4

Sachant (d'après le chapitre 8 de la leçon sur les équations de degré 3) que pour $k\in \{1,2,4\}$,

$\frac{\tan \frac{k\pi }{7}}{\sqrt{7}}$ est solution de $x=\frac{x^2+1/7}{1-x^2}$,

déduire de l'exercice précédent trois homographies à coefficients rationnels qui envoient

$\{-\cos \frac{2\pi }{7},-\cos \frac{4\pi }{7},-\cos \frac{8\pi }{7}\}\text{sur}\{\frac{\tan \frac{\pi }{7}}{\sqrt{7}},\frac{\tan \frac{2\pi }{7}}{\sqrt{7}},\frac{\tan \frac{4\pi }{7}}{\sqrt{7}}\}$.

Exercice 4-5

Sachant (d'après l'exercice 8-5 de la leçon sur les équations de degré 3) que pour $k\in \{1,2,4\}$,

$\frac{\sin \frac{2k\pi }{7}}{\sqrt{7}}=\frac{1}{4}(1+\frac{\tan \frac{k\pi }{7}}{\sqrt{7}})$,

déduire de l'exercice précédent trois homographies à coefficients rationnels qui envoient

$\{-\cos \frac{2\pi }{7},\cos \frac{3\pi }{7},\cos \frac{\pi }{7}\}\text{sur}\{-\frac{\sin \frac{2\pi }{7}}{\sqrt{7}},-\frac{\sin \frac{3\pi }{7}}{\sqrt{7}},\frac{\sin \frac{\pi }{7}}{\sqrt{7}}\}$.