Recherche:Méthode de Sotta/Exercices/Équations de degré trois

__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Modèle:Exercice

Exercice 1-1

Résoudre l'équation :

$5x^3-9x^2-3x+9=0$.

Exercice 1-2

Résoudre l'équation :

$x^3-x^2-x-2=0$,

sans utiliser sa racine évidente. Modèle:Solution

Exercice 1-3

Résoudre l'équation :

$x^3-6x^2+5x-1=0$.

Exercice 1-4

Résoudre par la méthode de Sotta les deux équations suivantes :

α) $\frac{4x^2}{3}=\frac{\sqrt{3}-6x}{2x-\sqrt{27}}$ ;

β) $x^3-5x^2+x-1=4x\sqrt{2}$.

Exercice 1-5

Sachant que (d'après Équation du troisième degré/Nombres algébriques de degré 3#Exemples de nombres algébriques de degré 3)

$\cos \frac{5\pi }{7}$

est racine de l'équation :

$8x^3-4x^2-4x+1=0$,

établir l’expression :

$\cos \frac{5\pi }{7}=\frac{(1+\mathrm{i}\sqrt{3})\sqrt[3]{1-3\mathrm{i}\sqrt{3}}-(1-\mathrm{i}\sqrt{3})\sqrt[3]{1+3\mathrm{i}\sqrt{3}}}{4(\sqrt[3]{1-3\mathrm{i}\sqrt{3}}-\sqrt[3]{1+3\mathrm{i}\sqrt{3}})}$.

De même, sachant que $\cos \frac{\pi }{9}$ est racine de

$8x^3-6x-1=0$,

démontrer que

$\cos \frac{\pi }{9}=\frac{(1+\mathrm{i}\sqrt{3})\sqrt[3]{1-\mathrm{i}\sqrt{3}}-(1-\mathrm{i}\sqrt{3})\sqrt[3]{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}}{-4(\sqrt[3]{1-\mathrm{i}\sqrt{3}}-\sqrt[3]{1+\mathrm{i}\sqrt{3}})}$.

Exercice 1-6

Résoudre l'équation :

$x^3-3k{x}^2+(3k^2-m^2)x+k{m}^2-k^3=0$,

$k$ et $m$ étant deux paramètres. Modèle:Solution

Exercice 1-7

Montrer que les trois nombres

$\frac{\tan \frac{\pi }{9}}{\sqrt{3}},\frac{\tan \frac{4\pi }{9}}{\sqrt{3}},\frac{\tan \frac{7\pi }{9}}{\sqrt{3}}$

sont les racines de

$X^3-3X^2-X+\frac{1}{3}$,

et en déduire qu'ils sont irrationnels.