Rappels de mécanique analytique/Hamiltonien

Pour cette leçon on se placera dans le cas d'un système à un seul degré de liberté (coordonnée généralisée $q$), la généralisation à un nombre quelconque de degrés de liberté étant évidente.

Position du problème

Les équations du mouvement en formalisme lagrangien font jouer un rôle disymétrique à la coordonnée généralisée $q$ et à la vitesse généralisée $\dot{q}$. Par ailleurs ces équations sont du deuxième ordre par rapport au temps $t$.

Il est possible de développer un autre formalisme, dû à Hamilton, qui permet d'obtenir un système de deux équations du premier ordre avec des "coordonnées" jouant un rôle symétrique (et en fait, équivalent).

Impulsion généralisée et transformation de Legendre du Lagrangien

Le formalisme hamiltonien est basé sur la substitution de la vitesse généralisée $\dot{q}$ par une nouvelle variable indépendante appelée l'impulsion généralisée, notée $p$, et définie par: $p\equiv \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)$, (1).

À partir du lagrangien $L(q,\dot{q},t)$ on obtient une nouvelle fonction dite de Hamilton ou hamiltonien, notée $H(q,p,t)$, en effectuant une transformation de Legendre sur $L(q,\dot{q},t)$, définie par:

$H=p\dot{q}-L$, (2).

Équations de Hamilton

En effectuant cette transformation l'équation du mouvement de Lagrange,

$\left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)=0$, (3),

devient aussitôt $\dot{p}=-\left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)$, (4).

Par ailleurs on a, en considérant $p$ et $\dot{q}$ comme des variables indépendantes, et d’après la définition (2) du hamiltonien, on a: $\frac{\partial H}{\partial p}=\dot{q}$, (5).

Au final, avec la transformation (1) utilisant l'impulsion généralisée (2), l'équation du mouvement de Lagrange est équivalente aux deux équations dite de Hamilton:

$\dot{q}=\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)$, et $\dot{p}=-\left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)$, (6).

Commentaires

Les équations de Hamilton constitue donc un système d'équations du premier ordre, strictement équivalents à l'équation de Lagrange, et donc au principe de moindre action. Par ailleurs les nouvelles "coordonnées" $q$ et $p$ jouent un rôle symétrique, ce qui n'était pas le cas des coordonnées et vitesses généralisées $q$ et $\dot{q}$ du formalisme de Lagrange.

On dit que $q$ et $p$ sont conjuguées l'une de l'autre, car la dérivée temporelle de l'une s'obtient par dérivation partielle par rapport à l'autre du hamiltonien $H(q,p,t)$

En fait il est possible d'effectuer le changement de variables conjuguées $Q=-p$ et $P=q$, ce qui donne aussitôt dans (6):

$\dot{Q}=\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)$, et $\dot{P}=-\left(\frac{\partial H}{\partial Q}\right)$,

qui sont donc des équations identiques à celle de Hamilton (le changement de variables conjuguées utilisées est un exemple trivial de transformation canonique). Par conséquent il est possible d'échanger les rôles entre coordonnées et impulsion généralisées en formalisme hamiltonien, alors que ceci n’est pas possible avec la vitesse généralisée dans le cadre lagrangien.

Intégrales premières

Expression de la dérivée totale d'une fonction des coordonnées et impulsions généralisées

On considère une fonction $f=f(q,p,t)$ des coordonnées et impulsions généralisées ainsi que du temps $t$. La différentielle de cette fonction s'écrit:

$\mathrm{d}f=\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)\mathrm{d}t+\left(\frac{\partial f}{\partial q}\right)\mathrm{d}q+\left(\frac{\partial f}{\partial p}\right)\mathrm{d}p$,

d'où l’on tire l’expression de la dérivée totale de $f(q,p,t)$ par rapport au temps:

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial q}\right)\dot{q}+\left(\frac{\partial f}{\partial p}\right)\dot{p}$,

or d’après les équations de Hamilton (6) on peut aussi écrire cette expression sous la forme:

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial q}\right)\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)-\left(\frac{\partial f}{\partial p}\right)\left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)$, (7).

Crochets de Poisson

L'expression (7) peut être écrite sous une forme encore plus suggestive en introduisant le crochet de Poisson de deux fonctions $f=f(q,p,t)$ et$g=g(q,p,t)$ des coordonnées et impulsions généralisées et du temps, défini par:

$\{f,g\}\equiv \left(\frac{\partial f}{\partial p}\right)\left(\frac{\partial g}{\partial q}\right)-\left(\frac{\partial f}{\partial q}\right)\left(\frac{\partial g}{\partial p}\right)$, (8),

ce qui permet de réécrire l’expression (7) de la dérivée totale de $f(q,p,t)$ par rapport au temps sous la forme:

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)+\{H,f\}$, (8).

Cette expression est formellement très proche de celle obtenue en mécanique quantique pour l'évolution temporelle d'un opérateur $\hat{A}$dans le point de vue dit de Heisenberg, où le vecteur d'état $|\psi >$ est constant et les opérateurs représentant les observables sont variables. Dans ce cas le crochet de Poisson correspond au commutateur $[\hat{H},\hat{f}]$ et des termes multiplicatifs en $i\hslash$ interviennent.

Condition pour l’existence d'une intégrale première du mouvement

On rappelle qu'on appelle intégrale première une grandeur physique $f(q,p,t)$ qui se conserve au cours du mouvement: par suite sa dérivée totale doit être nulle, on déduit de (8) que $f(q,p,t)$ est une intégrale première du mouvement si: $\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)+\{H,f\}=0$, soit si cette grandeur ne dépend pas explicitement du temps (cas le plus fréquent) $f=f(q,p)$, $\{H,f\}=0$.

En particulier si le hamiltonien $H$ ne dépend pas explicitement du temps, il est évident que $\{H,H\}=0$, donc $H$ est une intégrale première du mouvement dans ce cas.